关于圆的定义

作者: 阮一峰

日期: 2009年1月13日

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昨天,我读到一篇文章,很赞同它的观点。

科学认识形成于直观的想法,但是最终要用抽象的公式来表达。

Conception is about ideas, but formulas are the way to express them.

作者举了一个圆的例子,来说明这一点。

圆形可能是人类最先认识的形状。我们从直观的体验,就可以马上说出,什么是圆的。比如,苹果是圆的,轮子是圆的,太阳是圆的,等等。

但是,如果要从学术的角度,严密地定义圆,就不是那么简单了。原作者举出了5种定义,可以看到,随着定义越来越严密,圆形的概念也变得越来越抽象。

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定义一:圆是最对称的2维平面图形。

通过中心的任意一条直线,都可以将圆形分成完全相等的二部分。

定义二:在相同周长的情况下,面积最大的图形就是圆。

或者说,在相同面积的情况下,周长最短的图形就是圆。

有一道常见的面试题,问的是"为什么下水道的盖子是圆的?"理由有两个,一是给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的;二是圆的直径都相等,因此不会掉进下水道。

定义三:任意一条切线,都垂直于"切点的位置向量"的图像就是圆。

说实话,这一条好像更像圆的性质,而不像定义。

定义四:满足公式x²+y²=r²(r为大于0的已知实数)的所有点(x,y)的集合就是圆。

这种定义就是"到定点距离等于定长"的解析几何版本。

定义五:满足x=r*sin(t)、y=r*cos(t)的所有点(x,y)的集合就是圆。(r为大于0的已知实数,t为任意实数。)

这种定义给出了圆的参数方程形式。

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定义一只是在描述一种形状,到了定义五,就变成在描述一种纯数学关系。越是后面的定义,就越严密和越抽象。这正好同人类对圆的认识历史相一致。

马克思说过:"一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。"只有当人类可以用方程来描述圆时,人类对圆的认识才真正地完善。

在我看来,这是科学发展的一般规律,即任何一种科学发展到成熟阶段,它的逻辑结构必定可以用数学表达出来。即使学科本身的内容无法用数学表达,但是至少内容与内容之间的逻辑关系是可以用数学表达的。也就是说,如果一门学科是真正的科学,那么这门学科的结构一定可以被数学化。

上面所说的"科学",不仅指自然科学,也包括社会科学。为什么经济学、法学、政治学还不能被说成是真正的科学?一个原因就在于,这些学科本身的逻辑结构还不能用数学表达出来。

(完)

留言(45条)

不能用数学来描述的科学感觉都不是纯粹的科学,有技术的成分

经济学已经越来越数学化,相对于法学和政治学而言,经济的数学化程度是最高的,但是不知道什么样的算科学呢,经济学总是建立在这样那样的假定之上,随着社会的变化,经济学家的说法也五花八门,我觉得社会科学永远是依附于社会和人本身的发展,无法对社会做出超前的预测,而只能跟随社会的变化,试图解释,因此根本无法用自然科学的眼光去看待,社会科学本身也不该以努力让自己更“像”自然科学为荣。

自然科学的辉煌成功使得它依赖的数学方法大行其道,社会学科(注意,不是科学)也被其光芒所掩盖,屈居人下。以至于社会学科到了近代的发展近乎停滞,屡屡出错修正再出错;伦理道德被忽略,两次世界大战宣告了人类伦理自控的软弱。

不是所有的事情都可以被“数字化”抽象,模型只是人们思维的理想反映。有许多事情是不确定的,上帝很多时候是在玩色子。人们知道的还是沧海一粟。黑天鹅的不确定性使这个世界有了多样性的色彩。数学的工具在权变的观点下显得可笑。

一句话,我可能是不可知论者。

最根本的学科是哲学,其他学科都在哲学之下,哲学是指导性的.
以数学为根本评价各类"学"是可笑的,社会科学最起码在现在的认识水平下,与自然科学还是不一样的.
即使是自然科学是"科学"而社会科学不是"科学",但也没理由厚此薄彼,经济,法学,政治学,不是科学又能怎么样呢?难道它更低下?更没意义?再其次的艺术,文学,美学呢?

文章也没有说数学是各学的根本啊,是说是科学发展完善的标示。
经济学、法学、政治学本来就无法归类于科学,这也不是贬义的归类,最终目的也不是要发展成科学。

引用晨曦的发言:
最根本的学科是哲学,其他学科都在哲学之下,哲学是指导性的.
晨曦说得没错,数学只是哲学的影子,另外套用赛斯的话,人类的数学只是他那个世界的真正数学的影子。

马克思说过:“一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”只有当人类可以用方程来描述圆时,人类对圆的认识才真正地完善。
----->这句话应该这么说:
“一种科学只有在成功地运用哲学时,才算达到了真正完善的地步。”只有当人类可以用哲学来描述圆时,人类对圆的认识才真正地完善!

再多说一句,什么才是哲学?那恐怕是很多人虽然不能精确定义,可却能在其内心中深切感受到的一门的学问。那是不能用物质语言所定义的东西,因为那就是宇宙的精髓。

马克思说过:“一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”
有什么办法知道这个是真理?
既然不是真理就不要一次为准绳来衡量了。

马克思这个半吊子的“科学家”,不过这句话倒是很有马克思主义的斩钉截铁不容置疑的风格,当然本身是不是真理就再说了,因为我知道就连真正的数学家罗素也不会说这么武断的话。

历史学如果有一天可以用数字表达
是不是会感觉有些悲哀

先说一下科学的定义:

科学是由人类感知的自然现象,通过观察、抽象、总结形成家教个性论说,再形成有因果系统的宗教共性论说,再通过设置实验环境、证明宗教论说的真假、形成有因果系统的科学个性结论,再形成有因果系统的科学共性结论,进而形成有因果系统的有实验共性结论的可重复验证的学问,这就是科学。

按照这一定义,经济学也好,心理学、传播学之类的,都属于科学。

文章作者未免太过武断以至于我还以您是否还处于人类文明发展的初期,纠结于祖先们纠结的问题,但是又不能站在巨人的肩膀上综合看待问题,而是极端片面的看待问题

又或者说您对其他学科的了解过于单薄,连在西方经济学中微观经济学已经是可以用数学来描述生产和消费的关系了都不知道

哦,不对,你崇尚的是马克思,我还真没研究过马克思的经济学呢....

这一篇感觉没什么意思。从来对数学不感兴趣。阮兄,为什么不研究研究“黑莓手机”和“靖康之变”?

小时候思考这些问题很多的。
困惑至今的还有个问题。勾股定理。两边平方和等于斜边平方。
当时就觉得很神奇。
这样整洁工整,简单又完美的式子,冥冥中,是谁安排的?
它是这也,但是,为什么它就是这样?

“科学的简化和简化的科学”

阮老师说的是经典意义上的科学,也就是自然科学
可是社会科学本身就很复杂,很多变量无法全部考虑进来,只能简化,即使如此,也不能完美的解释世界。所以,广义的科学并非一定有数学形式,但它的思维和数学的精确、推理是相类的。比如进化论,有数学形式吗?思想是很难数学化的,而社会科学更多地就是思想的阐释,而非客观世界的再现。

boring..literature man stepped in maths and science?..It won't help ur words more convincible,it's not your research.

我觉得那个井盖面试题,还有一个原因是圆的井盖拿起来放回去时方便,因为无论旋转了多少角度还是一样,如果是方的,只有有限的几个角度可以放

阿企 说:

阮老师说的是经典意义上的科学,也就是自然科学

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不对吧,最后有一句:

“上面所说的“科学”,不仅指自然科学,也包括社会科学。为什么经济学、法学、政治学还不能被说成是真正的科学?一个原因就在于,这些学科本身的逻辑结构还不能用数学表达出来。”

说指的是自然科学,也有点逃脱责任之嫌了吧?

数学只是对这个世界的一种表达方式,不是唯一方式,也不是终极方式。

科学是我们对这个世界的一种认知表现,也不是唯一的,它不是一种宗教。

能保证数学一定是否正确

比如,概率论是错误的...

现在的数学离真正的完备还差得很远

断言为众科学的基础, 会不会不妥?

引用小维的发言:

阿企 说:

阮老师说的是经典意义上的科学,也就是自然科学

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不对吧,最后有一句:

“上面所说的“科学”,不仅指自然科学,也包括社会科学。为什么经济学、法学、政治学还不能被说成是真正的科学?一个原因就在于,这些学科本身的逻辑结构还不能用数学表达出来。”

说指的是自然科学,也有点逃脱责任之嫌了吧?

======== 显然,我的意思是阮老师在用自然科学的标准衡量社会科学的“科学化”程度,并不是说,阮老师把科学的外延局限在自然科学领域……

引用noname的发言:

boring..literature man stepped in maths and science?..It won't help ur words more convincible,it's not your research.

bullshit all of us learned maths and science before entering university.Even in the university,u can also select maths and science courses as a literature man.

说实话,喜欢阮兄的博客的一个主要原因是喜欢这里网友的跟贴。

科学的特性在于规范性,可证伪性等,能不能用数学公式表达完全不是标准。DNA的结构怎么用数学表达?进化论怎么用数学归纳?按马克思那句话来做评判,很多诺贝尔奖表彰的成果那可是相当不成熟了呀。

“理由有两个,一是给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的”
为什么面积最大,反而制造材料最小?

或者说,在相同面积的情况下,周长最短的图形就是圆。

有一道常见的面试题,问的是“为什么下水道的盖子是圆的?”理由有两个,一是给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的;二是圆的直径都相等,因此不会掉进下水道。

这里很矛盾。

嗯……和复旦大学的王德峰教授在哲学导论里讲得一样。

您到底是研究什么的啊?我觉得您好像哪方面都懂点,强!

引用木马的发言:

历史学如果有一天可以用数字表达
是不是会感觉有些悲哀

你没有看清楚,我的意思是说,如果历史学是科学,它的逻辑应该可以用数学表达。注意,这里我说的是历史学的逻辑,而不是历史学本身。两者差别很大。

如果你熟悉社会科学的话,你就会知道,很多争论不休的问题其实不是学术问题,都是逻辑问题,就是因为这些学科没有一个各方都接受的、符合逻辑的结构。

引用kalyn的发言:

“理由有两个,一是给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的”
为什么面积最大,反而制造材料最小?

不好意思,我说的不对。

正确的说法应该是,给定窨井盖的周长,圆形井盖可以覆盖最大的面积。

在和人争辩的时候我发现逻辑这种东西真的很有趣.
任何人之间的思维方式都相差太多.
当我试图说服某人时,我宁愿用一个简单的例子而不是一个复杂的定义,然而往往一个复杂的定义能给我更好的效果.关键在于我们在争辩的时候没有这么多见让我们来考虑出一个足够完备的条件来来抽象出一个模型来帮助我们定义.但是如果我们真的在争辩中这样的往往被职责孤立问题.所以我的看法就是,走自己的路说别人去吧.这样你会学到很多.

赞同,数学是最完美最基本的科学,学好了数学,做很多事情都很有帮助,可惜我的高数早就忘了!

这其实算得上形式化的计算学。

从这个意义上讲,定理的证明越来越依赖于计算机,越来越多出现机器证明的定理是一种趋势。

标准的应该是:从固定的一点到等距离的点运行而形成的图像

我国古代对圆的定义:
圆,一周同长也。

我觉的很多人对数学的理解可能还停留在"算术",甚至连代数的精髓都没没回忆起来,现代数学不一定要用数字,有所谓符号代数,举个简单例子(我自己临时想的不严密但是也基本能表达我想说的),定义3000个"数",再建立这些数之间排列的基本规则,然后用这些"数"对世界加以描述--这不就成了"哲学"了么,甚至什么学科都可用这个系统来描述,因为这根本就是3000常用文字而已.数学是个描述和模拟(不限于这两个功能)任意一个系统/学科的工具/语言,就好比问哲学属不属于中文或英文或其他语言一样,是个无意义的问题,不管他属不属于,他最好有个语言或文字来描述.数学就是这种类似语言的东西,但它比我们的自然语言有更多自洽性和精密性的要求.还有哲学不是最根本的学科,恰恰相反哲学应该属于最高级的学科,最根本的学科应该是物理学.简单设想一台计算机(再假设这台计算机足够复杂可以模拟人脑甚至整个人类智慧),物理可以描述它的硬件如何工作,属于最底层最基本的学科,再上去是生物学(假设这台计算机是类似人或模拟的人的结构),而哲学应该属于类似软件层面的东西,应该算是高级的学科.

社会科学不是科学。

科学有它自身的局限性,哥德尔在上个世纪就指出了这点,其实数学只是其中一种的表现形式,我觉得人类所有的知识都是建立在一些所谓的公理之上,而公理如何去证明?人类知识的基石是不可证明的。。。。。。

这些更像是圆的性质,而非定义。
圆是到定点距离等于定长的点的轨迹。

社会科学都是和统治阶级有关的‘科学’,所以我很不屑。尽说大实话啊我哈哈

引用小维的发言:

阿企 说:

阮老师说的是经典意义上的科学,也就是自然科学

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不对吧,最后有一句:

“上面所说的“科学”,不仅指自然科学,也包括社会科学。为什么经济学、法学、政治学还不能被说成是真正的科学?一个原因就在于,这些学科本身的逻辑结构还不能用数学表达出来。”

说指的是自然科学,也有点逃脱责任之嫌了吧?

经济学、法学、政治学很大程度上是一门经验,收集材料,寻找规律,在进行预测。我是这么认为的。

可是数学化抽象化的同时,就会丢失很多实例化的信息。
有些东西是无法量化的

"在相同周长的情况下,面积最大的图形就是圆。"
楼主说,“给定窨井盖的周长,圆形的制造材料是最少的.”
我持怀疑意见,既然周长相同的情况下,面积最大的是圆,那么圆形用的制造材料岂不是更多吗?
甚是不解,不知是我反应迟钝还是。。。

@bluechacha:

科学只是物质到意识的一种映射关系,因为映射路径的多样性,所以科学不是绝对的,但是科学肯定是正确的

希望阮老师做个APP。这样我可以在手机上看你的文章。我看了很多遍,并且印象最深的就是那篇。《别称自己是程序员》
亲戚朋友问我,我都是说瞎干。

为什么觉得所有的科学都是描述性的,不存在所谓的预知。可能有玄学可以预知?

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