指数函数，对数函数和增长率问题

一、e的定义

e是当m趋向无穷大时，(1+1/m)^m的极限值。

二、导数公式

f'_t(lnt)=1/t

f'_t(e^x)=e^x

f'_t(b^t)=b^tlnb

f'_t(log_bt)=1/(tlnb)

三、高阶导数

(1) y=b^t (b>1)

y'(t)=b^tlnb (>0，表明指数函数是增函数。)

y"(t)=b^t(lnb)²(>0，表明指数函数以加速度递增。）

(2) y=lnt

y'=t^-1(>0，表明对数函数是增函数。）

y"=-t^-2 (<0，表明对数函数以负的加速度递增。)

四、连续复利计算

V=Ae^rt，r表示瞬时增长率。

连续复利的现值公式为

A=Ve^-rt

当某个变量以指数形式增长时，都可以套用上面两个公式。

五、酒的窖藏问题

酒的价值的增长率是时间的减函数，它机会成本是现在买掉所得现金的复利增长率。当两个增长率相等，就是窖藏的最佳时间长度。

利率越高，酒的窖藏时间越短。这个结论可以被推广到其他长期决策，这表明高利率鼓励短期行为。

六、求增长率

当变量y是时间的函数，即y=f(t)，其瞬时增长率定义为

r_y=(dy/dt)/y=f'(t)/f(t)=边际函数/总函数

（若变量t不表示时间，那么，表达式（dy/dt）/y被称为y对t变化的比率。）

这个比率恰好是lnf(t)=lny的导数。

因此，为求时间函数f(t)的瞬时增长率，我们可以不采取将函数对t求导，然后再以f(t)相除的方法，而是简单地将函数两边取自然对数，然后再将lnf(t)对时间求导。

七、组合函数之积和之商的增长率

我们考虑两个时间函数之积的增长率：

y=uv，其中u=f(t)，v=g(t)

则

r_(uv)=r_u+r_v

即两函数积的瞬时增长率等于每个函数增长率的和。

通过类似的步骤还可是证明，函数商的增长率等于被除数与除数两者增长率之差。

r(u/v)=r_u-r_v

[实例]人均消费的增长率等于消费的增长率减去人口的增长率。

八、两个时间函数之和与之差的瞬时增长率

现在我们来考察两个时间函数的和的瞬时增长率

z=u+v，其中u=f(t)，v=g(t)

则

r(u+v)=(u/u+v)r_u+(v/u+v)r_v

即，两个时间函数之和的增长率等于每个函数增长率的加权平均值。

同理，我们有

r(u-v)=(u/u-v)r_u-(v/u-v)r_v

九、点弹性

对于函数y=f(x)，y对x的点弹性为

e_yx=d(lny)/d(lnx)

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