函数极值的微分条件

1. 一元函数极值的一阶必要条件

函数z=f(x)极值的一阶必要条件是 dz=0 。

2.   一元函数极值的二阶充分条件

极大值：d²z<0 （即d(d(z)<0）

极小值：d²z>0

3. 二阶必要条件是：对于dx的任意非零值，

z的极大值：d²z<=0

z的极小值：d²z>=0

比较极值的二阶必要条件的导数形式：

对于z的极大值：f"(x)<=0

对于z的极小值：f"(x)>=0

4. 二元函数极值的一阶必要条件

对于函数z=f(x,y)极值的一阶必要条件仍是：

对于不同时为零的任意dx和dy值，

dz=0

它的解释是：极值点必定是稳定点，而在稳定点，对两个变量x与y的任意无穷小变化，z必定为常数。

因为两变量的全微分为

dz=f_xdx+f_ydy

要满足dz=0，两个偏导数f_x和f_y同时为零是充要条件。因此，一阶微分条件的等价导数形式为

f_x=f_y=0

5. 二元函数极值的二阶充分条件

首先，二阶全微分等于

d²z=f_xxdx²+2f_xydxdy+f_yydy²

注意，在符号d²z中，指数2表示z的二阶全微分；而在符号dx²=(dx)²中，指数表示一阶微分dx的平方。

z=f(x,y) 极大值的二阶充分条件是：

对于不同时为零的任意dx和dy值，只要d²z<0，则存在极大值。

z=f(x,y) 极大值的二阶充分条件是：

对于不同时为零的任意dx和dy值，只要d²z>0，则存在极大值。

二阶必要条件必须用弱不等式表示：

对于不同时为零的任意dx和dy值，z的极大值：d²z<=0，z的极小值：d²z>=0。

二阶导数条件是，对于不同时为零的任意dx和dy值，

d²z<0 ，当且仅当 f_xx<0，f_yy<0，f_xxf_yy>f²_xy

d²z>0 ，当且仅当 f_xx>0，f_yy>0，f_xxf_yy>f²_xy

_{上面是二阶充分条件的导数形式。}

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