统计学里面，正态分布（normal distribution）最常见。男女身高、寿命、血压、考试成绩、测量误差等等，都属于正态分布。
以前，我认为中间状态是事物的常态，过高和过低都属于少数，这导致了正态分布的普遍性。最近，读到了 John D. Cook 的文章，才知道我的这种想法是错的。
正态分布为什么常见？真正原因是中心极限定理（central limit theorem）。
"多个独立统计量的和的平均值，符合正态分布。"
上图中，随着统计量个数的增加，它们和的平均值越来越符合正态分布。
根据中心极限定理，如果一个事物受到多种因素的影响，不管每个因素本身是什么分布，它们加总后，结果的平均值就是正态分布。
举例来说，人的身高既有先天因素（基因），也有后天因素（营养）。每一种因素对身高的影响都是一个统计量，不管这些统计量本身是什么分布，它们和的平均值符合正态分布。（注意：男性身高和女性身高都是正态分布，但男女混合人群的身高不是正态分布。）
许多事物都受到多种因素的影响，这导致了正态分布的常见。
读到这里，读者可能马上就会提出一个问题：正态分布是对称的（高个子与矮个子的比例相同），但是很多真实世界的分布是不对称的。
比如，财富的分布就是不对称的，富人的有钱程度（可能比平均值高出上万倍），远远超出穷人的贫穷程度（平均值的十分之一就是赤贫了），即财富分布曲线有右侧的长尾。相比来说，身高的差异就小得多，最高和最矮的人与平均身高的差距，都在30%多。
这是为什么呢，财富明明也受到多种因素的影响，怎么就不是正态分布呢？
原来，正态分布只适合各种因素累加的情况，如果这些因素不是彼此独立的，会互相加强影响，那么就不是正态分布了。一个人是否能够挣大钱，由多种因素决定：
- 家庭
- 教育
- 运气
- 工作
- ...
这些因素都不是独立的，会彼此加强。如果出生在上层家庭，那么你就有更大的机会接受良好的教育、找到高薪的工作、遇见好机会，反之亦然。也就是说，这不是 1 + 1 = 2 的效果，而是 1 + 1 > 2。
统计学家发现，如果各种因素对结果的影响不是相加，而是相乘，那么最终结果不是正态分布，而是对数正态分布（log normal distribution），即x的对数值log(x)满足正态分布。
这就是说，财富的对数值满足正态分布。如果平均财富是10,000元，那么1000元～10,000元之间的穷人（比平均值低一个数量级，宽度为9000）与10,000元~100,000元之间的富人（比平均值高一个数量级，宽度为90,000）人数一样多。因此，财富曲线左侧的范围比较窄，右侧出现长尾。
参考链接
- Why isn't everything normally distributed?, by John D. Cook
- Achievement is not normal, by John D. Cook
（完）
szpzs 说：
"原来，正态分布只适合各种因素累加的情况，如果这些因素不是彼此独立的，会互相加强影响，那么就不是正态分布了。" -- 难怪富人越富，穷人越穷。
2017年8月 2日 08:16 | # | 引用
PeterParker 说：
本文中所说的那种对称的正态分布应该是标准正态分布
2017年8月 2日 08:35 | # | 引用
业余草 说：
正态分布好像是高中的内容吧，都忘记完了！
2017年8月 2日 09:32 | # | 引用
xuefliang 说：
看统计书没明白，咋看你博客一下就懂了？
2017年8月 2日 11:00 | # | 引用
1@2 说：
感谢阮老师，简单易懂！不过要是能再深入讲一下中心极限定理就好了。
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有个小miss:
与10,000元~100,000元之间的富人（比平均值高一个数量级，宽度为90,为000）
这里应该是“宽度为90000”？
2017年8月 2日 12:58 | # | 引用
阮一峰 说：
谢谢指出，已经更正。
2017年8月 2日 13:26 | # | 引用
catbaron 说：
不……正太分布就是以μ为对称轴对称的，标准是指的μ为0， σ为1
2017年8月 2日 14:07 | # | 引用
catbaron 说：
这种说法只是把「正太分布」的解释转化为「中心极限定理」吧，实际上「为什么会有中心极限定理」还是没有解释。
我还是觉得你之前的想法是对的，至少是一种中心极限定理的解释。
2017年8月 2日 14:10 | # | 引用
sandy 说：
对的，所以说，判断社会或者某平台是否真的公平竞争的标准，看最后的结果是否符合正态分布。
2017年8月 2日 16:00 | # | 引用
sandy 说：
嘿嘿，还要加一句，为什么各个因素相互影响最后结果不是加法而是乘法呢？
因为，正反馈，各个因素构成循环，在多次循环之后表现出的结果是倍数，其实是累加过程，也就是积分嘛。
2017年8月 2日 16:15 | # | 引用
jasmine 说：
均值为0，标准差为1的才是标准正太分布。正太分布都是对称的，不对称的是偏态分布
2017年8月 2日 16:48 | # | 引用
yisam 说：
讲的不错，点个赞
2017年8月 2日 19:19 | # | 引用
archdevil 说：
正态分布里有自然对数的底，以及圆周率。这些数学常数很有可能是宇宙的框架的基础之一。
2017年8月 2日 20:08 | # | 引用
lion 说：
对数正太分布是否可以再通俗点呢，看图我没看大明白，可能对数我忘光了哈哈，不过还是感谢阮大其他讲的非常通俗易懂
2017年8月 3日 10:45 | # | 引用
bugbot 说：
第二个参考链接与第一个雷同了。
2017年8月 3日 15:11 | # | 引用
wangchao 说：
这个只是结果，并不是原因
2017年8月 4日 08:37 | # | 引用
simoncos 说：
正反馈打破正态分布
2017年8月 4日 17:45 | # | 引用
723649234 说：
正太分布以前看不太懂，今天在你这看懂了，很直观。
2017年8月 9日 12:04 | # | 引用
zhangxiaoping 说：
男女身高、寿命、血压、考试成绩、测量误差等等，都属于正态分布。
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这句话显然是错误，统计学家全是骗子、弱智。
比如男女身高。某时刻1000个人，假如这1000个人符合正太分布;考察下一时刻，多了一个人，1001个人，这1001个人的身高也符合正太分布吗？显然不是。
2017年8月17日 20:11 | # | 引用
FURENGETE 说：
基因的遗传结果的统计学概率大概都是这样。
2017年8月19日 01:40 | # | 引用
王晓东 说：
2017年9月 4日 10:49 | # | 引用
harper 说：
江苏的话高中就学了
问个问题，为什么男女一起的身高不符合正态分布呢？性别不也是一个影响因素吗？
2017年9月 7日 17:34 | # | 引用
Windsting 说：
第二个参考链接的网址应该是：
https://www.johndcook.com/blog/2009/09/29/achievement-is-log-normal/
2017年9月10日 13:49 | # | 引用
钱小莲 说：
其实也可以从最大熵的角度去理解。在二阶矩一定的情况下，正态分布的熵是最大的，由于自然界有熵增的规律，正态分布自然也就常见了
2017年9月25日 16:43 | # | 引用
Terry 说：
中心极限定理不是说 不管样本个体本身是什么分布 相同数量的样本均值呈现分布最终接近于正态分布。 主要不是指的是sampling distribution of sampling mean嘛？跟文章里讲的中心极限定理的定义貌似是两件事情？谁来解释一下
2017年11月16日 14:57 | # | 引用
单宝英 说：
您讲的真好
2017年11月17日 16:48 | # | 引用
wynhbh 说：
财富分布不是幂律分布吗（Pareto）
2017年12月18日 10:00 | # | 引用
zzz 说：
如果平均财富是10,000元，那么1000元～10,000元之间的穷人（比平均值低一个数量级，宽度为9000）与10,000元~100,000元之间的富人（比平均值高一个数量级，宽度为90,000）人数一样多。
应该是对数平均财富是10,000元
2017年12月24日 21:23 | # | 引用
天空 说：
数学专业的都知道是中心极限定理。这个都还要拿出来说啊
2017年12月25日 19:18 | # | 引用
a 说：
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。
性别影响不小，性别并不独立，例如不同性别基因差别就很大
2018年4月11日 17:56 | # | 引用
Seagle 说：
性别与基因,营养并不独立,强相关。同一类目标统计才有统计学意义。男女各自头发的长短可能属于正态分布，但均值一定不为0，在非标准分布的情况下，混合在一起统计会符合吗？
2018年7月23日 18:02 | # | 引用
Blues 说：
请问N=1，到N=10的具体图形是怎么得来的呢？有具体的数据计算过程么？
2018年9月27日 11:26 | # | 引用
Lingtong 说：
这几天看了不少阮先生的文章，大为受用，非常感谢！
2019年1月31日 03:25 | # | 引用
冰山下的鱼 说：
甭管多少人，都符合正太分布。
你没弄明白概率和实际的区别，概率是“期望值”，和发生的实际没有关系。
就好像抛一枚正常的硬币抛了5次都是正面朝上，下一次的抛硬币，正面朝上的概率还是50%。
2019年8月 2日 21:41 | # | 引用
wangxiaofeng 说：
r老师这篇文章很好，深入浅出，受益匪浅
2020年2月15日 15:48 | # | 引用
陈小孩 说：
这也是我很纳闷的,如果算的是条件概率"在前五次抛出都是正面的情况下,第六次抛出是正面的概率是多少",结果还是一样吗?大学概率论有两个问题,
一个是:一家庭恰有两个小孩,一小孩为女,则另一小孩为男的概率为多少?
另一个是:考虑恰有两个小孩的全部家庭,从这些家庭中随机选一孩子,若发现她为女孩,则另一孩子是男孩的概率是多少?
前者是2/3,后者是1/2,十分纳闷@-@
2020年2月27日 14:30 | # | 引用
liuwin7 说：
关键点在于正确理解，独立随机事件。
如果问题2换一种描述，问题就清楚了，“考虑恰有两个小孩的全部家庭,从这些家庭选择一个家庭，是一男一女的概率，是多少”。事件满足独立且随机。
再看问题1，为何是2/3，两个孩子的男女排列和组合，一共就4种，分别是男女、女男，女女，男男，已经知道有一个是女孩，“男男”这种可能就被排除了。
所以可能性就3个（男女、女男，女女），而满足条件的可能性是2个（男女，女男），所以，第一题是，2/3，这个题应该在高中的生物里面会学到。
2020年5月15日 11:06 | # | 引用
liuwin7 说：
Sorry，对第2个问题理解有误。
不知道原文是怎么描述，感觉表达有精简，“若发现她为女孩,则另一孩子是男孩的概率是多少?” 应该是 “若发现她为女孩,则该家庭中，另一孩子是男孩的概率是多少?”
基于此，我的理解，选出一个孩子是女孩这个事件，跟后面那个事件（该家庭的另一个孩子是男孩），之间是没有关系的，相对独立的。而且是随机的。
2020年5月15日 11:31 | # | 引用
月光照在酒瓶上 说：
这本质是应该探求中心极限定理（central limit theorem）为什么那么神奇？ 我只能定性的理解成，这里面是大数定律这个简单规律的一种累积后的效果
2021年5月28日 09:25 | # | 引用
笙箫默 说：
同问，财富分布不是幂律分布吗？
2021年10月24日 22:50 | # | 引用
Solas 说：
这么武断的评判统计学家，而事实上却是你没有明白数据的概率分布和实际采样之间的差异，希望五年后的你已经认识到了无知，也收起了傲慢吧
2022年3月29日 16:13 | # | 引用
hongqi 说：
效应是独立的，但乘法性的，是对数正态分布。
如果不是独立就会是幂律分布。
这里讲错了
‘原来，正态分布只适合各种因素累加的情况，如果这些因素不是彼此独立的，会互相加强影响，那么就不是正态分布了。一个人是否能够挣大钱，由多种因素决定：
家庭
教育
运气
工作
...
这些因素都不是独立的，会彼此加强。’
2023年6月 4日 23:08 | # | 引用