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RSA算法原理(一)

作者: 阮一峰

日期: 2013年6月27日

如果你问我,哪一种算法最重要?

我可能会回答"公钥加密算法"

因为它是计算机通信安全的基石,保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下,信用卡交易被破解的后果。

进入正题之前,我先简单介绍一下,什么是"公钥加密算法"。

一、一点历史

1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:

  (1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;

  (2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。

由于加密和解密使用同样规则(简称"密钥"),这被称为"对称加密算法"(Symmetric-key algorithm)。

这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。保存和传递密钥,就成了最头疼的问题。

1976年,两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman,提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成解密。这被称为"Diffie-Hellman密钥交换算法"。这个算法启发了其他科学家。人们认识到,加密和解密可以使用不同的规则,只要这两种规则之间存在某种对应关系即可,这样就避免了直接传递密钥。

这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。

  (1)乙方生成两把密钥(公钥和私钥)。公钥是公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。

  (2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。

  (3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。

如果公钥加密的信息只有私钥解得开,那么只要私钥不泄漏,通信就是安全的。

1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。

这种算法非常可靠,密钥越长,它就越难破解。根据已经披露的文献,目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说,长度超过768位的密钥,还无法破解(至少没人公开宣布)。因此可以认为,1024位的RSA密钥基本安全,2048位的密钥极其安全。

下面,我就进入正题,解释RSA算法的原理。文章共分成两部分,今天是第一部分,介绍要用到的四个数学概念。你可以看到,RSA算法并不难,只需要一点数论知识就可以理解。

二、互质关系

如果两个正整数,除了1以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,15和32没有公因子,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

关于互质关系,不难得到以下结论:

  1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61。

  2. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10。

  3. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和57。

  4. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99。

  5. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56。

  6. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15。

三、欧拉函数

请思考以下问题:

  任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:

可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

  n = p1 × p2

  φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论,得到

再根据第3条的结论,得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:

四、欧拉定理

欧拉函数的用处,在于欧拉定理。"欧拉定理"指的是:

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:

也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,

已知 φ(10) 等于4,所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。

因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

欧拉定理有一个特殊情况。

假设正整数a与质数p互质,因为质数p的φ(p)等于p-1,则欧拉定理可以写成

这就是著名的费马小定理。它是欧拉定理的特例。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。

五、模反元素

还剩下最后一个概念:

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1。

这时,b就叫做a的"模反元素"

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。

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好了,需要用到的数学工具,全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识,就是上面这些,下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

(完)

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留言(65条)

建议公式用透明背景看着舒服些,mathjax更好~

// mod 作为运算符不该用斜体呀,强迫症犯了

欧拉这位数学家真的很厉害

峰哥的技术文章写的总是这么深入浅出,大赞

记得看到说1024位也不安全了,估计已经或者接近被破解了。
而且政府和法院可以命令企业提供私钥的吧。

快点出二!我正期待这类文章呢!

建议使用 MathJax,浏览器中显示数学公式会好看得多。样例: http://www.mathjax.org/demos/mathml-samples/。

期待下一篇。楼主很专业。希望马上看到楼主的下一篇。

很喜欢、很佩服你讲解技术的方式,深入浅出,娓娓道来。也很喜欢你的博客网站的风格,朴素但是有内容,非常实在。

顺便请教一下,你的博客是采用哪个平台呢?还是自己开发的?就像你的关于github和Jekll搭建博客的文章,你的博客也是按照这个方式组织的吗?

谢谢!

"这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。"
虽然很容易推导,但是这句话这样说应该是有逻辑问题。前面是"可能",后面是"就是"。

欧拉定理找本高等数学的书就能知道了,的确有点复杂,感觉不必在这里详细介绍,囧。

我以前也写过一篇简单的笔记:http://jakwings.is-programmer.com/posts/29107.html
公钥和私钥的来源简单来说就是下面这样吧,当然具体是怎么把它们复杂化我就不清楚了,希望下次你能详细讲到。:)
公钥:w, n
私钥:p, q, Φ(n), d

深入浅出,我当时做网络安全的时候还专门研究了这个东西呢,现在忘了很多,不过看起来依然很亲切。

早上查看微信,看到推荐的这篇文章.下午查询https相关知识,又来到博主这里,实在是太巧了.
谢谢楼主的分享,非常详细,很是受用.

有点疑问

第五种情况中 “再根据第3条的结论,得到”使用第3条的条件应为“P(k1,1)为质数的某一个次方,且次幂大于1”,即P(k1,1)不是质数

但第五条的题设是“因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。”

则P(k1,1)为质数,与第三条的条件不符,不能用第三条吧?

再看了一下感觉欧拉函数中第三条“k为大于1的整数”可以改为“k为大于或等于1的整数”

To Viko:

谢谢指出,已经改过来了。

您好博主,对于第四种情况,我也有点疑问:

"由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。"

这里我不太理解的是,9与8是互质的:
φ(8)有4种a可能:1 3 5 7
φ(9)有6种b可能:1 2 4 5 7 8
φ(8*9) = φ(72)真的有24(4*6)种c(对应[a,b])可能吗?
如果取a=3 b=2 而c=a*b=3*2=6 并非是8×9=72的互质数呀

引用米格的发言:

很喜欢、很佩服你讲解技术的方式,深入浅出,娓娓道来。也很喜欢你的博客网站的风格,朴素但是有内容,非常实在。

顺便请教一下,你的博客是采用哪个平台呢?还是自己开发的?就像你的关于github和Jekll搭建博客的文章,你的博客也是按照这个方式组织的吗?

谢谢!

风格是stylesheet决定的, 内容是作者的, 与平台何关呢?

To hilojack:

c 是(a,b)的函数,但不一定等于 a*b ,比如c可以等于2a+b。

我想请问,因为e和d都非常大,那对于加解密的幂运算取模是不是速度都很慢呢?

没完全看懂,看来我得再加强理论学习。

有点疑问

第三种情况中说“只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质”,这个好理解,但是为什么把它们去除后,剩下的就是与n互质的数呢?

引用xfq的发言:

有点疑问

第三种情况中说“只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质”,这个好理解,但是为什么把它们去除后,剩下的就是与n互质的数呢?

这个情况是针对n=p^k形式,n只包含质因子p,如果一个数不包含质因子p,那显然不会和n有共同的质因子,当然互质了

“因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来”
7的222次方=7的2次方*7的(4*55)次方,下面该怎么算呢?谢谢~

引用赵三的发言:

“因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来”
7的222次方=7的2次方*7的(4*55)次方,下面该怎么算呢?谢谢~

7的2次方个位数9, 7的(4*55)次方 个位数1(1^55) 9×1=9

我高等数学中没有这个欧拉定理啊,欧拉定理有很多。看了这篇文章我才知道费马小定理原来是欧拉定理中的特殊情况,真高端!

图片大多数挂掉了!

我是今年的应届毕业生,毕业论文就是关于RSA算法的,在网页上看到阮先生的这篇文章,受益匪浅。因为本身对于数学并不擅长,希望可以借鉴一下阮先生的这篇文章。希望能够得到您的许可。

谢谢一峰!想了解 RSA 很长时间了,一直不得要领,今天看到了这篇文章和后续的(二),马上看完记笔记,醍醐灌顶,受益匪浅!

谢谢一峰!

引用小白的发言:

记得看到说1024位也不安全了,估计已经或者接近被破解了。
而且政府和法院可以命令企业提供私钥的吧。

现在都有人急着用2048了。当然量子计算机一出现RSA就是浮云了。

已经看晕了.

公式图片好像都不显示了...

你好,这篇文章的图片貌似都挂掉了,影响了阅读质量哦。

引用Viko的发言:

第五种情况中 “再根据第3条的结论,得到”使用第3条的条件应为“P(k1,1)为质数的某一个次方,且次幂大于1”,即P(k1,1)不是质数

但第五条的题设是“因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。”

则P(k1,1)为质数,与第三条的条件不符,不能用第三条吧?

那如果该数不是某个质数的次方呢,即不符合第三种情况的条件呢?根据3和5推出的式子还成立么(。・д・。)。

PS:感谢博主的耐心解释~(・∀・)~

公式不显示啦~~~~

图挂啦~~

我有直觉,只要翻墙那些图就会出来

刚试了一下,翻墙后确实出来了

昨天晚上看到最后,最关键的地方,结果图全部都是X

现在才看到,有种非常不爽的感觉。

引用Dude的发言:

现在都有人急着用2048了。当然量子计算机一出现RSA就是浮云了。

用8192bit是不是丧心病狂的表现

阮哥,为什么图片没有了

引用WT的发言:

阮哥,为什么图片没有了

图片在这个网站上,http://chart.googleapis.com/chart,看到URL中的google你就知道为什么了

>> 任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)
计算这个值的方法就叫做欧拉函数

--
>> 如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。

这两处定义出入

太棒了!很有心得!感谢分享!

看了感觉可以 不错的文章

引用clpszpp的发言:

图片在这个网站上,http://chart.googleapis.com/chart,看到URL中的google你就知道为什么了

天朝上国!悲哀

欧拉定理的公式看不到了!_(:з」∠)_

看着看着就晕了的飘过

发明非对称加密的科学家 好像甘道夫

果然需要翻墙才能看图片。好文章赞一个。

下次再来继续看。。。

今天在看到,原来早在1973年和RSA等效的算法已经被一个英国情报部门工作的数学家Clifford Cocks弄出来了,只是由于工作性质,知道1997年他的这部分工作才解密,4年后RSA三人才独立重新发明这个算法,还是Whitfield Diffie 和 Martin Hellman两个人的前期工作下(而这两人的“前期”工作也后于Clifford Cocks),这样Cocks的工作虽然没有直接带来革命,但作为一个数学家的成就,还有这个故事本身的趣味性,感觉都值得一提,如果阮先生以后要更新这篇文章或者RSA相关内容的不妨看看

看来你的文章,对RSA算法讲解很到位,准备在公司培训采用你的资料,谢谢你。

_(:зゝ∠)_ 看《离散数学》看到这里,不太明白,谢谢博主的文章

条理很清晰,十分感谢!!

图挂了

阮哥,既然这个私钥那么重要,那么在开发中怎样保护私钥呢?

要翻墙可以把图片显示出来。。翻墙怎么办?自己想办法

讲得真好,本来以为加密都是高大上的东西,原来核心原理并不复杂,再次感慨数学的神奇!

有人说量子计算机出现将使得它失效,可是他没想到,量子计算机同样可以出题目,它算出来的题目,它自己解起来要多久....

有一个相关的问题,publickey 和 publickey token 是否有对应关系,或者通过某个工具可否查看两者是否匹配?

第二种情况:
“而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数”
这里有错误,有p^(k-1)个质数是对的,但是1×p、2×p、...应该是p、p^2...

包含质数p的数,也就是说p是这个数的因数。毫无疑问,p都是1*p, 2*p, 3*p的因数。所以原文并没有错。

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。

上面这句话是错的吧、

一个大于1的正整数7怎么写成一系列质数的积啊,1不是质数也不是合数

写了太好了,比我们教授讲了清楚,哈哈

这学期开了密码学的课程,正学到RSA这里,围观一峰大大的日志=w=

师兄,你好。后面部分你给出的算式是用图片表示的。但是我无法打开图片。我用过几部设备打开网页都是无法打开的。希望能得到师兄的帮助,谢谢师兄

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