陶哲轩的数学题
据说，陶哲轩（Terrence Tao）是40岁以下最聪明的美国科学家。
陶哲轩，1975年7月15日在澳大利亚出生，是家中长子。现任教于美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系，24岁时便被聘为正教授。研究涉及质数或素数形式，在压缩感知方面的突破性研究令工程师可以开发出用于核磁共振成像、天文仪器和数码相机领域的更尖端、更有效的成像技术。
据测试，陶哲轩的智商介于220至230之间，如此高的智商百万人中才会有一个。陶哲轩20岁获得普林斯顿大学博士学位，后来获得“菲尔兹奖”，这一奖项被誉为“数学界的诺贝尔奖”。
他最近在Blog（此链接被屏蔽）上出了一道数学题，翻译如下：
Suppose you are trying to get from one end A of a terminal to the other end B. (For simplicity, assume the terminal is a one-dimensional line segment.) Some portions of the terminal have moving walkways (in both directions); other portions do not. Your walking speed is a constant v, but while on a walkway, it is boosted by the speed u of the walkway for a net speed of v+u. (Obviously, given a choice, one would only take those walkways that are going in the direction one wishes to travel in.) Your objective is to get from A to B in the shortest time possible.
在机场中，你想从A点前往B点。（为了将问题简化，假设机场是一条线性通道。）一些区域有电动扶梯（双向的），另一些区域没有。你的步行速度恒定为v，电动扶梯的运行速度为u，因此在扶梯上，你的实际速度为v+u。（显然，你不会搭乘与你前进方向不一致的扶梯。）你的目标是尽可能快地从A点到达B点。
1. Suppose you need to pause for some period of time, say to tie your shoe. Is it more efficient to do so while on a walkway, or off the walkway? Assume the period of time required is the same in both cases.
1. 假定你需要暂停片刻，比如系鞋带。请问你应该在电动扶梯上系，还是在没有上电动扶梯时系？假定两种情况下，系鞋带的时间相同。
2. Suppose you have a limited amount of energy available to run and increase your speed to a higher quantity v' (or v'+u, if you are on a walkway). Is it more efficient to run while on a walkway, or off the walkway? Assume that the energy expenditure is the same in both cases.
2. 假定你有有限数量的多余能量，用来奔跑。在跑动时，你的速度提高到v'（如果在电动扶梯上，就相应为v'+u）。请问你应该在电动扶梯上跑，还是在没有上电动扶梯时跑？假定两种情况下，你可供奔跑的能量相同。
3. Do the answers to the above questions change if one takes into account the various effects of special relativity? (This is of course an academic question rather than a practical one. But presumably it should be the time in the airport frame that one wants to minimise, not time in one’s personal frame.)
3. 在狭义相对论的情况下，上述答案是否发生改变？
第三个问题，我根本不懂，就不考虑了。
前两个问题，我一开始用直觉判断，后来发现想不清楚，只好老老实实拿出草稿纸，用方程式计算。刚才算出来的答案好像是，都应该在电动扶梯上完成。作者没有公布答案，不知道我算得对不对。
（来源：Greg Mankiw's Blog）
评论
sonson 说：
假设自己到传送带有10米距离，传送带长15米，行走速度5每秒，传送带速度10米每秒。而传送带的尽头即是终点。
第一个问题假如系鞋带需要两秒中。那么，如果先系鞋带再出发，时间是，2秒加2秒加1秒共5秒；如果在传送带上系，那么时间是2秒加1，5秒，共3，5秒。应该是在传送带上系更快。
第二个问题，如果只能加速一秒钟，速度是10米每秒。
那么，如果先加速的话，时间为，1秒加1秒共两秒钟。
如果上传送带后加速，时间为，2秒加0，75秒，共2，75秒。
所以是在传送带下加速更快。
2008年12月15日 04:39 |
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D 说：
假设系鞋带需要时间t, 奔跑持续时间t'
1、在电梯上系鞋带会比下面系快ut/(u+v)
2、在电梯上跑快(v'+u)t'/(u+v)
3、从之前学过的一点点狭义相对论浅显的分析，由于时间膨胀，咦，膨胀公式是啥来着，哈哈哈……
2008年12月15日 05:14 |
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passerby 说：
if you guys are going to read all that messy comments under the original post, i'd recommend you to read this one
http://terrytao.wordpress.com/2008/12/09/an-airport-inspired-puzzle/#comment-33862
cheers
2008年12月15日 06:55 |
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善用佳软 说：
用最简单的推理，来分析问题1：
如果在行走时，费时T来系鞋带，你的对手领先了你Tv距离，你仍然要用T时间弥补。
如果在自动扶梯上，费时T来系鞋带，你的对手仍会领先了你Tv距离，但消灭这段距离，只须用时间Tv/(u+v)。
在这个意义上讲，相当于越是困难时期，越不能放弃。
但上例中的扶梯是定长（永远运行，从A点送到B点），现实中的扶梯则可能是定时的（随时可上下，但只在某段时间运行）。
2008年12月15日 07:58 |
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善用佳软 说：
同理，对于问题2：
设想3个人，A不加速，B行走时加速，C扶梯时加速。加速值记为dV，加速时间记为dT。
简化一下，A和B都是先扶梯，这样下梯时仍持平；B到终点时，A落后 dS=dV*dT 距离，相当于 dS/v 时间。
简化一下，A和C都是先走路，则同一时间走上扶梯。C到终点（也是扶梯终点）时，A仍然落后 dS=dV*dT 距离，但只相当于 dS/(v+u) 时间。
所以，B最快，C次之，A最慢。
即，如果有定时加速（想象一下游戏或人生）的机会，则应该用于困境。即雪中送炭的价值大于锦上添花。这和经济学的边际效应递减原则相符。
2008年12月15日 08:21 |
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善用佳软 说：
而问题3，则是把计算中的 V3=V1+V2 改为了 V3=（V1+V2）/(1+V1*V2/C*C)，这样就使得上述简化分析的前提不再成立了。
如果说物理学的狭义相对论指出了不可能通过速度“相加”而超越光速，则在人生的意义就是，不可能通过满意度的相加来得到绝对满意（或幸福）。
2008年12月15日 08:32 |
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welco 说：
很显然 机场不会出现 上传送带直接就能上飞机 或送到机场大门 这段路还是要自己走的
所以 sonson举的例子并不恰当
在牛顿时空观里
因为人一直在运动 所以不管在哪停或是加速都是一样的
但是 当考虑狭义相对论的时候
速度越快钟越慢 所以要在速度快的时候加速 速度慢的时候减速
也就是 在平地上系鞋带 在扶梯上加速跑
2008年12月15日 08:33 |
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welco 说：
讲的很有道理
但是题目是发生在同一个机场里
不想人生 每个人都有自己不同的轨迹
同理，对于问题2：
设想3个人，A不加速，B行走时加速，C扶梯时加速。加速值记为dV，加速时间记为dT。
简化一下，A和B都是先扶梯，这样下梯时仍持平；B到终点时，A落后 dS=dV*dT 距离，相当于 dS/v 时间。
简化一下，A和C都是先走路，则同一时间走上扶梯。C到终点（也是扶梯终点）时，A仍然落后 dS=dV*dT 距离，但只相当于 dS/(v+u) 时间。
所以，B最快，C次之，A最慢。
即，如果有定时加速（想象一下游戏或人生）的机会，则应该用于困境。即雪中送炭的价值大于锦上添花。这和经济学的边际效应递减原则相符。
2008年12月15日 08:37 |
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善用佳软 说：
圆满只可逼近而不可得的相对论，并非人生悲观论。相反，正能激励人们勇猛精进。
比如，速度达到0.8c的高手，与0.9c者，差距非0.1c也，而是0.357c。
另，回复问题1中的“边际效应”应为“边际效用”。
2008年12月15日 08:43 |
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善用佳软 说：
与其他人的分析结论不一致啊。
anyway，狭义相对论在低速下，一定与经典力学一致；基于变量的严谨计算分析，一定与某个假定值的计算一致。
2008年12月15日 08:53 |
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善用佳软 说：
原文后面，有一位匿名网友的分析更直观：
速度越平均则越快，要避免忽快忽慢。因此，系鞋带（慢下来）要在快时（扶梯）进行；加速要在慢（走路）时进行。
不过，他对于问题2的结论似乎有误。
2008年12月15日 09:54 |
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june 说：
The original post has been banned in chinese mainland.
2008年12月15日 10:19 |
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可能是一部分答案 说：
在普通情况下
应该在电动扶梯上系鞋带
跑得话应该是都一样
2008年12月15日 10:40 |
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cc 说：
为什么他的BLOG要遭屏蔽?
2008年12月15日 13:26 |
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砍刀刘 说：
我的想法：
根据题目所示：一段乘坐电梯为加速，一段系鞋带为延长时间，一段加速奔跑为缩短时间。
那么，要想块就应该尽量延长而不是缩短这个加速的时间（别倒退来延长啊，哈哈）。
所以，结论很明显，至于什么相对论没什么关系。
这2题如果把加速电梯换成反向加速电梯，结论就完全不同了吧。
2008年12月15日 15:00 |
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阿企 说：
嗯，xbeta的基本原则很正确，最后还是要靠平均速度来决定快慢的，所以尽量往提高平均速度方面考虑。
最后一题，狭义相对论框架下，如此低的速度下，相对论带来的时间膨胀基本上可以忽略不计。
2008年12月15日 16:02 |
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nicii 说：
这个题目，把走路和坐传动带的全过程当作一个系统来看，再从功率的角度来分析，发现很有意思。
题目1：
全程走路，看作正常系统A；
走路时停2秒，等效于系统A停止工作2秒；
坐传动带时停2秒，等效于系统A降速工作2秒。
因此，坐传动带时系鞋带（停2秒），系统效率相对高一些，用时相对少一些（完成的是同一件事）。
问题2：
全程走路，看作正常系统A；
走路时人增加输出能量n焦耳，等效于系统A增加输出n焦耳；
坐传动带时人增加输出能量n焦耳，与此同时，传动带也增加了输出功率（以弥补“U+V'的动能”与“U的动能+V'的动能”之差，简单例证见后），等效于系统A增加输出大于n焦耳；
因此，坐传动带时跑步，系统的平均输出功率相对高一些，用时会少一些。
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举例证明，坐传动带时人增加输出能量n焦耳，与此同时，传动带也增加了输出功率。
例子：
情况1，传动带速度为U，人不走，动能为E1=(1/2)×m×U^2；
情况2，传动带速度为U，人走的速度为U，动能为E2=(1/2)×m×（2U）^2=4E1。
E2是E1的4倍，情况2中，人提供的功率为E1，传动带提供的功率为3E1。
而情况1中，传动带提供的功率为E1。
也就是说，坐传动带时人增加输出功率（往前赶路），传动带为了确保速度不变，也会增加输出功率（这个结论有点意思）。
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题目3：不懂相对论。
2008年12月15日 17:09 |
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calabash 说：
1：
走路时，相当于位移0
坐传带，有传带给你额外的位移(当然更好)
难道我想简单了
2008年12月15日 17:59 |
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砍刀刘 说：
2008年12月15日 18:13 |
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善用佳软 说：
以正行军，以奇取胜。这是兵法，也适合语言。
2008年12月15日 18:23 |
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砍刀刘 说：
2008年12月15日 19:19 |
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welco 说：
我的答案与其他网友不一样 是因为他们都错了
2008年12月15日 19:36 |
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废柴甲 说：
前两个问题实际上是一样的，在扶梯上系鞋带（减速），和在路上跑（加速）是等价的
2008年12月15日 20:22 |
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smartking 说：
如果不系鞋带也可以和系着鞋带走或跑的一样快 何必系鞋带呢
2008年12月15日 20:37 |
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废柴甲 说：
如果问题的答案是确定的
如果平地的距离只有1步，剩下的全是扶梯
如果系鞋带需要1个小时
你是愿意先花1个小时系鞋带，然后再踏上扶梯
还是先迈出一步，然后让电梯在，可能在10分钟之内，送你到达终点？
2008年12月15日 21:05 |
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Fisher 说：
我的直觉是只要电梯足够长，第一题在地上系和在电梯上系没有什么不同，因为电梯时匀速的，所以感觉地面和电梯是两个相互独立的系统，所以没有区别。
第二题，如果是从地面上跑到电梯上的话，我觉得是越早跑越好了，考虑两个极端，在开始加速和在结尾加速。加速的效果是一样的，但是先加速是速度增加，和后加速的小速度之间有个差。所以因该是在地面上跑。
第三题，估计是陶哲轩自己考虑的问题...
2008年12月15日 21:31 |
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峰粉 说：
这是个相对论的题目，人家可是一个数学家
所以什么人生价值、边际利益——各位大哥，人家是数学家
我相信这个题目，说明一个问题，在牛顿空间和相对论空间的差异。
否则就不用问第三个问题了
可能想说的就是，时间和空间是因为速度而变化的
楼上有人讲清楚上面的关系了
这理学工的可真不多嘛
2008年12月16日 00:10 |
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星云 说：
1、应该在电动扶梯上系鞋带。
2、应该没有上电动扶梯时跑。
3、静止应该在运动上静止，运动应该在静止上运动。
2008年12月16日 11:15 |
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晓杨 说：
当然要站在电梯上了,我以前试过,这很简单的问题.
但第三点,有谁能懂呢
2008年12月16日 12:18 |
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善用佳软 说：
结论已公布，有幸不需要修正观点。
2008年12月16日 13:38 |
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Charming_lady 说：
我怎么觉得结果都应该一样啊？
2008年12月16日 16:19 |
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郭小曼 说：
1.设A-B距离为S 步行距离为S, 电梯距离为S,, 系鞋带的时间为t,
最后所用时间为T 步行速度为v 电梯速度为u
1在路上系鞋带的总时间为T1 2在电梯上系鞋带的总时间为T2
求T1 T2
解:
S=S,+S,,
T1=t + s,/v + s,,/(v+u)
T2=t + s,/v + (s,,-tu)/(v+u)
T1-T2=S,,/(v+u)-(s,,-tu)/(v+u)
=(S,,-S,,+tu)/(v+u)
=tu/(v+u)
此结果恒大于零
结论:电梯上系鞋带的话,所用时间最短
2008年12月17日 14:45 |
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xiaobao 说：
1:无论在哪儿系鞋带，损失的速度都是人走的速度，所以在哪儿系鞋带用的时间都是一样的
2008年12月17日 21:57 |
| 引用
xiaobao 说：
我的这个思路是不对的，刚才想了一会儿，发现如果在电梯上系鞋带，那么人相对于电梯行走的路程会比在电梯外系鞋带后在电梯上相对于电梯行走的路程短。
2008年12月17日 23:18 |
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opera 说：
1).可以看成增加路程,因为系鞋带时人都要停止步行,所以无论是否在电梯相比不用系鞋带落后vt'(假设系鞋带时间项为t').明显,与不用系鞋带走完全程相比,不在电梯上系鞋带要浪费时间vt'/v,即t';在电梯上系鞋带要浪费时间vt'/(u+v).0<v/(u+v)<1,所以在电梯上系鞋带浪费的时间更少.
2).可以看成缩短路程,因为可供奔跑的能量相同,所以无论是否在电梯奔跑相比不奔跑都领先(v'-v)T(假设奔跑时间项为T).明显,与不奔跑走完全程相比,不在电梯上奔跑节约了时间(v'-v)T/v,即t';在电梯上奔跑节约了时间(v'-v)T/(v+u).v<(v+u),所以不在电梯上奔跑节约的时间更多.
2008年12月18日 00:24 |
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Tom 说：
v*t1=s1; (v+u)*t2=s2
1）在传送带上系鞋带节省时间多
2）在地上加速跑节省时间多
道理很简单：如果有段时间dt你不得不减低速度dv（系鞋带:dv=v）肯定是在原来速度快的那一段减速受到的影响小；而如果有段时间dt让你有机会提高速度dv，肯定是在原来速度慢的那一段加速效果更明显。有点像木桶理论
3）还没想好
2008年12月19日 11:46 |
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石英钟 说：
1.在到B点时系鞋带，
2.在上电动扶梯前跑，
3.在狭义相对论的情况下，上述答案不发生改变。
2008年12月23日 20:03 |
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混子 说：
只回答前两个问题，虽然读的物理，相对论没弄明白。。。
1，应该在扶梯上系鞋带
2，应该在陆地上奔跑
理由其实是一个，如下：
在电梯上，电梯会帮你运送一段距离，这个距离你自己就不用去走了，而这个距离=电梯速度×在电梯上呆的时间。所以在电梯上呆的越久，电梯帮你完成的距离就越长，自己走的就越短，就越能快点到达目的地。
2008年12月25日 12:56 |
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Leo 说：
平地距离 d1, 传送带距离d2，都是已知量。
系鞋带一共需要时间为T，是已知量。
将系鞋带时间分成在平地t1，传送带t2，那么t1+t2 = T。
设走路速度v, 传送带速度u，都是已知量。
那么总共花费时间为:
t1 + d1/v + (d2-ut2)/(u+v) + t2
= T + d1/v + d2/(u+v) - ut2/(u+v)
当t2越大，总时间越小，所以是在传送带上系鞋带。
加速奔跑略。
2009年01月14日 16:44 |
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yu 说：
看了这么多，终于找到想法一样的了！！！
2009年01月19日 01:35 |
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losslove 说：
简单
设步行距离为S1，传送带距离S2，
1）在步行中系鞋带，时间为t0，则总的时间为 t‘ = t0+S1/v+S2/(v+u)
在传送带中系鞋带，总时间为 t’‘=S1/v+u*t0/u+(S2-u*t0)/(u+v)=t0+S1/v+S2/(u+v)-u*t0/(u+v)
时间差为t’-t‘’=u*t0/(u+v)>0
因此在传送带上停留耗时更少。
2）考虑能加速的时间为t0，增加的速度为v0,
在步行中加速，总时间为 t' = t0+(S1-(v+v0)*t0)/v+S2/(u+v) = t0+S1/v+S2/(u+v)-(1+v0/v)t0
在传送带中加速，总时间为 t'' = t0+S1/v+(S2-(u+v+v0)*t0)/(u+v) =t0+S1/v+S2/(u+v)-(1+v0/(u+v))*t0
时间差为t'-t''=v0*(1/(u+v)-1/v)*t0 因此在步行中加速更快。
3）不会发生变化，因为这时候的速度相对于光速来说都可以忽略不计，经典情况就是狭义相对论在低速
系统中时的近似。
2009年05月25日 17:36 |
| 引用
LEE 说：
假定系鞋带的时间和加速跑的时间够短，短到两者都在电梯上完成时，都可以把加速跑的能量在电梯上用完，那所有一切，无论在哪完成，其实都一样。
2009年08月19日 15:03 |
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