9月1日是俄罗斯的知识节,因为这一天是各级学校的开学日,象征进入知识宝库的日子。
今年的知识节,俄罗斯总理米哈伊尔·米舒斯京(Mikhail Mishustin)来到莫斯科物理技术学院(MIPT)视察。该校是俄罗斯顶级的理工科大学,出过许多诺贝尔奖得主和著名科学家。
米舒斯京总理来到新生的教室,给学生们讲话。他看到黑板上写满了数学公式,一时兴起,就上前写了一道数学题,要求大家当场解答。
根据维基百科,米舒斯京生于1966年,大学专业是系统工程,主修计算机辅助设计。工作以后,还读过一个经济学博士。在担任总理之前,他是俄罗斯联邦税务局长。
他出的是一道几何题,题目如下。
给定圆上的一个点和一条直径,你能否找到一种方法,画出从该点到直径的垂直线(下图的绿线)。
这道题的难点在于,你不能使用任何测量工具,唯一可以用的就是一把不带有标记的直尺。
大家可以思考一下,这道题怎么解。
虽然它用不到高深的数学知识,初中的几何学课程就可以解答,但也不算容易。你必须知道两个基本的几何定理,才能想出答案。
第一个是泰勒斯定理,欧几里得《几何原本》提到过: 圆上任意一点与直径组成的三角形,是直角三角形。
第二个定理是: 锐角三角形的三条高交于一点。
如果你已经忘了这两个定理,可以再去看一下初中几何课本,这里就不给出证明了。
下面我根据一个数学家写给英国《卫报》的文章,介绍如何解答这道题。
如果你还想再思考一下,自己找到答案,那就暂时不要往下看了。我要讲答案了。
第一步,在相同的半圆上,任意再找一个点。将这两个点,与直径的相邻端点连起来,连线延长后可以形成一个三角形。
上图中,圆周上的两个点与直径组成的,都是直角三角形。它们可以看作直径的两个端点到绿边的两条高。
第二步,上一步的两条高产生了一个交点,将这个交点与三角形的外部顶点连起来,延长后与直径相交。
根据三角形的三条高交于一点,可以知道,上图的绿线是直径的一条垂直线。后面只需要找到它的平行线,穿过红点即可。
第三步,上一步的绿线与圆周有一个交点,将这个交点与红点连起来,延长后与直径相交(上图的第一个绿点)。
同时,将上一步的垂直线延长,与另一侧的圆周相交,产生一个交点(上图的第二个绿点)。
第四步,将上一步的两个绿点连起来,这条线会与圆周产生一个交点(上图的绿点)。
再将绿点与红点连起来(上图的黄线),这就是我们所要寻找的答案:红点到直径的垂直线。
这是因为上图的两条绿边与第二步的垂直线,形成了一个等腰三角形,原始的那条直径就是等腰三角形顶点到底边的高。这意味着,红点与绿点是对称的,它们的连线平行于底边,所以垂直于高(直径)。
至此,整道题解答完毕。
米舒斯京总理在黑板上画完解题过程后,对学生们说:
"你们会在大学里面,学到数学、物理、化学知识,但是不要忘了那些基础知识。基础知识与专业知识结合起来,你就能解决任何问题,不仅是科学问题,也包括商业问题。"
(完)
leftfist 说:
毛子还是挺厉害的
2021年9月22日 08:55 | # | 引用
coon 说:
学习是一种态度
2021年9月22日 09:14 | # | 引用
kmxz 说:
下…下一篇是五点共圆?
2021年9月22日 09:15 | # | 引用
Gxxgle 说:
定理1和定理2我都知道,我就是不知道怎么用,做梦也想不到第二个定理可以这么用。我感觉灵活应用是最难的。
2021年9月22日 09:33 | # | 引用
Kevin 说:
通晓原理才能解决更复杂的问题。
2021年9月22日 09:37 | # | 引用
阿晨 说:
太厉害了,我都忘光了
2021年9月22日 09:51 | # | 引用
heq 说:
毛子数学厉害,有一定原因是因为当时的法国科学院长拉格朗日双目失明,后被法国辞退,后来拉格朗日远走俄国,教出了一大批厉害的学生;拉格朗日同时也是柯西的老师。
2021年9月22日 09:58 | # | 引用
miniakuma 说:
都直尺了,本身就是带一个90度的边直接那个边沿着直径的那条线对着角不就行了,也不要画什么图了
2021年9月22日 09:58 | # | 引用
stone 说:
没想出来,啧,好题
2021年9月22日 10:04 | # | 引用
Joy 说:
这个总理好肥啊!!
2021年9月22日 10:53 | # | 引用
K 说:
总理的解法很巧,只是初中生有更简单的解法————圆规法做垂线
2021年9月22日 10:58 | # | 引用
Simon 说:
虽然现实中的直尺边确实是垂直的,但是在尺规作图中,直尺指的是可以画直线的不带刻度的尺子。
2021年9月22日 11:11 | # | 引用
哦呦 说:
不审题啊,人家要求只能用没有刻度的尺子
2021年9月22日 11:56 | # | 引用
kana 说:
我想知道是否有其他解法
2021年9月22日 12:59 | # | 引用
K 说:
只要是直线就行,直尺、绳子、皮带,任何能帮助你固定一个支点来画圆的工具都可以轻而易举找到垂线
2021年9月22日 14:24 | # | 引用
Simon 说:
尺规作图中,无刻度的直尺只允许用于画直线。
这道是数学题,不是让你实际画出垂线。
2021年9月22日 14:46 | # | 引用
yongzhan 说:
这孩子打小就聪明
2021年9月22日 15:04 | # | 引用
gaopeng 说:
总理画的和文章画的是两个方向,算不算两种解法?
2021年9月22日 15:37 | # | 引用
Leon 王 说:
我只想到了第一个定理,真的是都忘光了。
2021年9月22日 15:50 | # | 引用
django 说:
愣是关注这个博主这么多年。。。。还在更新。一定是一个牛逼的人。
2021年9月22日 22:45 | # | 引用
zyh 说:
看到有一些说用直尺画。。。那只是你想当然的认为是直角,而不是通过定理推导出来的。
2021年9月23日 10:50 | # | 引用
哈哈纽 说:
双目失明的是欧拉,不是拉格朗日。
2021年9月23日 11:49 | # | 引用
dante 说:
总理牛逼,位高权重了基础知识还这么牢靠
另外,夏虫不可语冰,你们评论区里理那个脑瘫评论有什么意义
2021年9月23日 12:53 | # | 引用
回龙观观主 说:
如果这是张纸的话,对折一下,让直径重叠并通过圆上那一点,折线就是垂线
2021年9月23日 13:43 | # | 引用
young 说:
为什么有人纠结一定要用其它工具。。。
2021年9月24日 08:34 | # | 引用
l00 说:
有另外一个解,不止是否正确,第一步一样的,得到一条不定位置的垂直线,这个垂直线延长穿过圆,与圆上交点为A,与圆下交点为B,题目设定的已知点为X,已知直径为线段ab。让X与B连线为XB,XB与已知直径相交ab的到C点,然后AC连线并延长,在另一端与圆相交得到M,M为X的对称点,MX连线即需要解的垂直线。这种方法比总理的貌似多了一步,但好像也能解
2021年9月24日 12:21 | # | 引用
wyl219 说:
用直尺能画出来确实的垂线,但是不能证明这是垂线.
用几何原理画出来的由于误差,可能不是真的垂线,但是你能证明这是垂线.
几何里的事,说是就是不是也是.
2021年9月26日 10:46 | # | 引用
六个九十度 说:
一开始想着将直尺当圆规用不是很简单吗?就算没有刻度我也可以临时在上面做标记啊。后来看了答案,原来不做标记也可以,牛逼。
2021年9月27日 10:23 | # | 引用
麻只 说:
先用尺规得到AB的中点D, AD为半径,D为圆心画圆,圆弧与AC相交得到E,BE即为目标垂线。
2021年9月30日 12:40 | # | 引用
bingo 说:
不让用圆规,方法没问题的,就是多用了工具,你这不行。我有直角尺,那不一步到位了。
2021年9月30日 13:59 | # | 引用
heisenberg 说:
主要是找一个能画出来的垂直与直径的垂线,然后根据对称性那个三角形的高就能画出来了。
2021年9月30日 15:03 | # | 引用
瓜皮 说:
这个题 我解出来了 哈哈
2021年10月 9日 10:39 | # | 引用
pennxiv 说:
第三部之后可以直接连红点和下面那个绿点,得到与直径的交点;用这个交点和竖直的线上交点连接并延长,就得到下面图4的绿点了,不需要在圆外找点了
2021年10月13日 17:39 | # | 引用
Lucille 说:
厉害了,这个题非常好,永久收藏
2021年10月14日 10:33 | # | 引用
李总裁 说:
那是欧拉
2021年10月29日 17:07 | # | 引用
hado 说:
好久没做数学题了,脑子都木了
2021年11月 5日 15:15 | # | 引用
zyfy 说:
看评论那些非要投机取巧用尺子的直角的人就知道,中国的数学基础教育欠的债太多,连基本的抽象都不懂;或者说是理解不了约束存在的原因。
2021年11月11日 10:52 | # | 引用
yaojw 说:
别人家的总理。
2021年11月26日 13:59 | # | 引用
xeal 说:
我也是这么想的,看文章提到的解法真的复杂
2022年3月11日 10:43 | # | 引用
边宏飞 说:
锐角三角形的三条高交于一点,竟然这么用的。简直牛逼中的战斗机
2022年3月25日 15:06 | # | 引用
H 说:
这意味着,红点与绿点是对称的,它们的连线平行于底边,所以垂直于高(直径)?
2023年8月12日 08:53 | # | 引用
passerwzh 说:
只能使用直尺连接点和点,那思路就是不断把存在的点用直线连接起来,这样会创造新的点,然后就可以继续考虑。最初只有三个点,后来随机选了一个点。
2023年10月11日 16:07 | # | 引用
52coder 说:
相对很清晰了,如果文章中的图里面能标一些ABCDE点,讲解起来更清晰了
2023年10月14日 10:03 | # | 引用
张飞 说:
这个直尺可以抽象为一个可以链接两点的作图工具。
2023年12月 3日 17:14 | # | 引用
张飞 说:
这个尺子是一个链接两点的直线作图工具的具象化。
2023年12月 3日 17:18 | # | 引用