（这个系列实在拖得太久，今天是最后一篇。）
上一篇介绍了"威尔逊区间"，它解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。
举例来说，如果只有2个人投票，"威尔逊区间"的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。
以IMDB为例，它是世界最大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为1分，最高为10分。
系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前250名的电影。
这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有10000个观众投票，一部小成本的文艺片只有100个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用"威尔逊区间"，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？
一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。
在排名页面的底部，IMDB给出了它的计算方法。
- WR， 加权得分（weighted rating）。
- R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。
- v，该电影的投票人数（votes）。
- m，排名前250名的电影的最低投票数（现在为3000）。
- C， 所有电影的平均得分（现在为6.9）。
仔细研究这个公式，你会发现，IMDB为每部电影增加了3000张选票，并且这些选票的评分都为6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有3000张选票，那么就都具备了进入前250名的评选条件；然后假设这3000张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。
这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。
把这个公式写成更一般的形式：
- C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。
- n，该项目的现有投票人数。
- x，该项目的每张选票的值。
- m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。
这种算法被称为"贝叶斯平均"（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了"贝叶斯推断"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。
在这个公式中，m（总体平均分）是"先验概率"，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的"贝叶斯平均"就越接近算术平均，对排名的影响就越小。
因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。
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"贝叶斯平均"也有缺点，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有10个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有10个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是电影A可能比电影B更值得看。
解决这个问题的思路是，假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从"多项分布"（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，估计该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，这里就不深入了，感兴趣的朋友可以继续阅读William Morgan的How to rank products based on user input。
（完）
ivan 说：
这个系列实在是太好了，看完觉得收获很大！
2012年3月28日 21:15 | # | 引用
glowdan 说：
这个系列不错。reddit以前的和IMDB的以前看过，reddit现在的刚认识。看来还得好好搞下数理统计啊
2012年3月28日 21:47 | # | 引用
abian 说：
这个系列时间差不多一个月吧，不错，下学期的好好复习一下概率论咯。
2012年3月28日 22:42 | # | 引用
码农 说：
博主太强了，膜拜一下
2012年3月29日 00:27 | # | 引用
9527 说：
总算完了！
2012年3月30日 14:36 | # | 引用
莫逢 说：
最近在用贝叶斯统计做垃圾广告的过滤算法，多有互通之处。
感叹一句贝叶斯的智慧和伟大啊。
2012年3月30日 15:28 | # | 引用
如果云知道 说：
老师~我上过您的课~~
来此膜拜下~
2012年3月30日 17:04 | # | 引用
Ralph_adu 说：
不错，这排名还可以应用到其他方面，学习了！
2012年3月31日 08:28 | # | 引用
杨少波 说：
可以收集起来出一本书了，谢谢你的文章！
2012年3月31日 18:04 | # | 引用
老好人 说：
挺好的！ IMDB的方法若变换为WR=( v / (v+m)) (R-C) +C 也可能促进理解
2012年4月 1日 11:01 | # | 引用
想~~~ 说：
今天怎么上不去你的博客了?我翻墙上来了...被和谐了???
2012年4月 5日 11:57 | # | 引用
dk01 说：
佩服博主能高质量的完成这么有价值的文章
2012年4月 5日 14:29 | # | 引用
ShiningRay 说：
正好自己的网站也要用到!!!
2012年4月 6日 23:49 | # | 引用
Dell Zhang 说：
Dell Zhang, Robert Mao, Haitao Li, and Joanne Mao. How to Count
Thumb-Ups and Thumb-Downs: User-Rating based Ranking of Items from an
Axiomatic Perspective. In Proceedings of the 3rd International
Conference on the Theory of Information Retrieval (ICTIR), Bertinoro,
Italy, Sep 2011.
http://goo.gl/b3QyX
http://goo.gl/2Ama4
2012年4月 8日 20:09 | # | 引用
摸象 说：
这个系列太棒了！感谢分享！
2012年4月28日 12:59 | # | 引用
随机导弹 说：
这样补一些平均选票，有什么意义？不太懂
这样小众电影的分数会比初始评分更趋向于平均值，即高分变平庸，低分变中等。
求解
2012年5月18日 21:45 | # | 引用
feng 说：
都看完了，收获非常大，可悲，这些知识都还给学校了，当时要是能结合这些应用实例来学习多好
2012年7月25日 11:39 | # | 引用
aaaa 说：
楼上人的回答让我明白了学习其他语言的必要性
2013年12月21日 02:48 | # | 引用
膜拜老师您 说：
受益匪浅
2014年2月 8日 09:25 | # | 引用
tanleihaoren 说：
很好奇这些公式是如何被推导出来的？完全自己想象的么
2014年2月25日 17:45 | # | 引用
B 说：
我最近正好在弄网站的内容排名，能找到您的文章真的太棒了！非常感谢！
2014年4月28日 15:11 | # | 引用
vark 说：
个人觉得这3000张选票只是在排序的时候才会被用到，而不会影响原有的电影评分，只是影响排名而已。
2014年10月15日 17:11 | # | 引用
Iceyl 说：
受益匪浅
2015年2月 5日 17:24 | # | 引用
cccc 说：
感觉这个系列文章没有讲到权重排序的本质是什么..........
权重排序的本质我认为应该是：
各个参数对排序权重的影响，这些参数对于权重分数的影响比例，比如0.2a,0.8a或者a^1.2等等
2015年6月 6日 14:08 | # | 引用
胡子拉碴 说：
赞，这个系列经久不衰，依然受用
2018年12月18日 16:57 | # | 引用
LittleBoy 说：
最后那篇文章的链接打不开。我想看看那篇文章，能发那篇文章的链接给我吗？谢谢
2020年5月14日 13:39 | # | 引用