俄罗斯总理的几何题

作者: 阮一峰

日期: 2021年9月22日

9月1日是俄罗斯的知识节,因为这一天是各级学校的开学日,象征进入知识宝库的日子。

今年的知识节,俄罗斯总理米哈伊尔·米舒斯京(Mikhail Mishustin)来到莫斯科物理技术学院(MIPT)视察。该校是俄罗斯顶级的理工科大学,出过许多诺贝尔奖得主和著名科学家。

米舒斯京总理来到新生的教室,给学生们讲话。他看到黑板上写满了数学公式,一时兴起,就上前写了一道数学题,要求大家当场解答。

根据维基百科,米舒斯京生于1966年,大学专业是系统工程,主修计算机辅助设计。工作以后,还读过一个经济学博士。在担任总理之前,他是俄罗斯联邦税务局长。

他出的是一道几何题,题目如下。

给定圆上的一个点和一条直径,你能否找到一种方法,画出从该点到直径的垂直线(下图的绿线)。

这道题的难点在于,你不能使用任何测量工具,唯一可以用的就是一把不带有标记的直尺。

大家可以思考一下,这道题怎么解。

虽然它用不到高深的数学知识,初中的几何学课程就可以解答,但也不算容易。你必须知道两个基本的几何定理,才能想出答案。

第一个是泰勒斯定理,欧几里得《几何原本》提到过: 圆上任意一点与直径组成的三角形,是直角三角形。

第二个定理是: 锐角三角形的三条高交于一点。

如果你已经忘了这两个定理,可以再去看一下初中几何课本,这里就不给出证明了。

下面我根据一个数学家写给英国《卫报》的文章,介绍如何解答这道题。

如果你还想再思考一下,自己找到答案,那就暂时不要往下看了。我要讲答案了。

第一步,在相同的半圆上,任意再找一个点。将这两个点,与直径的相邻端点连起来,连线延长后可以形成一个三角形。

上图中,圆周上的两个点与直径组成的,都是直角三角形。它们可以看作直径的两个端点到绿边的两条高。

第二步,上一步的两条高产生了一个交点,将这个交点与三角形的外部顶点连起来,延长后与直径相交。

根据三角形的三条高交于一点,可以知道,上图的绿线是直径的一条垂直线。后面只需要找到它的平行线,穿过红点即可。

第三步,上一步的绿线与圆周有一个交点,将这个交点与红点连起来,延长后与直径相交(上图的第一个绿点)。

同时,将上一步的垂直线延长,与另一侧的圆周相交,产生一个交点(上图的第二个绿点)。

第四步,将上一步的两个绿点连起来,这条线会与圆周产生一个交点(上图的绿点)。

再将绿点与红点连起来(上图的黄线),这就是我们所要寻找的答案:红点到直径的垂直线。

这是因为上图的两条绿边与第二步的垂直线,形成了一个等腰三角形,原始的那条直径就是等腰三角形顶点到底边的高。这意味着,红点与绿点是对称的,它们的连线平行于底边,所以垂直于高(直径)。

至此,整道题解答完毕。

米舒斯京总理在黑板上画完解题过程后,对学生们说:

"你们会在大学里面,学到数学、物理、化学知识,但是不要忘了那些基础知识。基础知识与专业知识结合起来,你就能解决任何问题,不仅是科学问题,也包括商业问题。"

(完)

留言(34条)

毛子还是挺厉害的

学习是一种态度

下…下一篇是五点共圆?

定理1和定理2我都知道,我就是不知道怎么用,做梦也想不到第二个定理可以这么用。我感觉灵活应用是最难的。

通晓原理才能解决更复杂的问题。

太厉害了,我都忘光了

毛子数学厉害,有一定原因是因为当时的法国科学院长拉格朗日双目失明,后被法国辞退,后来拉格朗日远走俄国,教出了一大批厉害的学生;拉格朗日同时也是柯西的老师。

都直尺了,本身就是带一个90度的边直接那个边沿着直径的那条线对着角不就行了,也不要画什么图了

没想出来,啧,好题

这个总理好肥啊!!

总理的解法很巧,只是初中生有更简单的解法————圆规法做垂线

引用miniakuma的发言:

都直尺了,本身就是带一个90度的边直接那个边沿着直径的那条线对着角不就行了,也不要画什么图了

虽然现实中的直尺边确实是垂直的,但是在尺规作图中,直尺指的是可以画直线的不带刻度的尺子。

引用K的发言:

总理的解法很巧,只是初中生有更简单的解法————圆规法做垂线

不审题啊,人家要求只能用没有刻度的尺子

我想知道是否有其他解法

引用哦呦的发言:
不审题啊,人家要求只能用没有刻度的尺子

只要是直线就行,直尺、绳子、皮带,任何能帮助你固定一个支点来画圆的工具都可以轻而易举找到垂线

引用K的发言:

只要是直线就行,直尺、绳子、皮带,任何能帮助你固定一个支点来画圆的工具都可以轻而易举找到垂线

尺规作图中,无刻度的直尺只允许用于画直线。
这道是数学题,不是让你实际画出垂线。

引用miniakuma的发言:

都直尺了,本身就是带一个90度的边直接那个边沿着直径的那条线对着角不就行了,也不要画什么图了

这孩子打小就聪明

引用kana的发言:

我想知道是否有其他解法

总理画的和文章画的是两个方向,算不算两种解法?

我只想到了第一个定理,真的是都忘光了。

愣是关注这个博主这么多年。。。。还在更新。一定是一个牛逼的人。

看到有一些说用直尺画。。。那只是你想当然的认为是直角,而不是通过定理推导出来的。

引用heq的发言:

毛子数学厉害,有一定原因是因为当时的法国科学院长拉格朗日双目失明,后被法国辞退,后来拉格朗日远走俄国,教出了一大批厉害的学生;拉格朗日同时也是柯西的老师。

双目失明的是欧拉,不是拉格朗日。

总理牛逼,位高权重了基础知识还这么牢靠
另外,夏虫不可语冰,你们评论区里理那个脑瘫评论有什么意义

如果这是张纸的话,对折一下,让直径重叠并通过圆上那一点,折线就是垂线

为什么有人纠结一定要用其它工具。。。

有另外一个解,不止是否正确,第一步一样的,得到一条不定位置的垂直线,这个垂直线延长穿过圆,与圆上交点为A,与圆下交点为B,题目设定的已知点为X,已知直径为线段ab。让X与B连线为XB,XB与已知直径相交ab的到C点,然后AC连线并延长,在另一端与圆相交得到M,M为X的对称点,MX连线即需要解的垂直线。这种方法比总理的貌似多了一步,但好像也能解

用直尺能画出来确实的垂线,但是不能证明这是垂线.
用几何原理画出来的由于误差,可能不是真的垂线,但是你能证明这是垂线.
几何里的事,说是就是不是也是.

一开始想着将直尺当圆规用不是很简单吗?就算没有刻度我也可以临时在上面做标记啊。后来看了答案,原来不做标记也可以,牛逼。

先用尺规得到AB的中点D, AD为半径,D为圆心画圆,圆弧与AC相交得到E,BE即为目标垂线。

引用麻只的发言:

先用尺规得到AB的中点D, AD为半径,D为圆心画圆,圆弧与AC相交得到E,BE即为目标垂线。

不让用圆规,方法没问题的,就是多用了工具,你这不行。我有直角尺,那不一步到位了。

主要是找一个能画出来的垂直与直径的垂线,然后根据对称性那个三角形的高就能画出来了。

这个题 我解出来了 哈哈

第三部之后可以直接连红点和下面那个绿点,得到与直径的交点;用这个交点和竖直的线上交点连接并延长,就得到下面图4的绿点了,不需要在圆外找点了

厉害了,这个题非常好,永久收藏

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