大家比较熟悉的逻辑运算，主要是"与运算"（AND）和"或运算"（OR），还有一种"异或运算"（XOR），也非常重要。
本文介绍异或运算的含义和应用。
一、含义
XOR 是 exclusive OR 的缩写。英语的 exclusive 意思是"专有的，独有的"，可以理解为 XOR 是更单纯的 OR 运算。
我们知道，OR 运算的运算子有两种情况，计算结果为true。
（1）一个为 true，另一个为 false;
（2）两个都为 true。
上面两种情况，有时候需要明确区分，所以引入了 XOR。
XOR 排除了第二种情况，只有第一种情况（一个运算子为true，另一个为false）才会返回 true，所以可以看成是更单纯的 OR 运算。也就是说， XOR 主要用来判断两个值是否不同。
XOR 一般使用插入符号（caret）^表示。如果约定0 为 false，1 为 true，那么 XOR 的运算真值表如下。
0 ^ 0 = 0 0 ^ 1 = 1 1 ^ 0 = 1 1 ^ 1 = 0
二、运算定律
XOR 运算有以下的运算定律。由于非常简单，这里就省略证明了。
（1）一个值与自身的运算，总是为 false。
x ^ x = 0
（2）一个值与 0 的运算，总是等于其本身。
x ^ 0 = x
（3）可交换性
x ^ y = y ^ x
（4）结合性
x ^ (y ^ z) = (x ^ y) ^ z
三、应用
根据上面的这些运算定律，可以得到异或运算的很多重要应用。
3.1 简化计算
多个值的异或运算，可以根据运算定律进行简化。
a ^ b ^ c ^ a ^ b = a ^ a ^ b ^ b ^ c = 0 ^ 0 ^ c = c
3.2 交换值
两个变量连续进行三次异或运算，可以互相交换值。
假设两个变量是x和y，各自的值是a和b。下面就是x和y进行三次异或运算，注释部分是每次运算后两个变量的值。
x = x ^ y // (a ^ b, b) y = x ^ y // (a ^ b, a ^ b ^ b) => (a ^ b, a) x = x ^ y // (a ^ b ^ a, a) => (b, a)
这是两个变量交换值的最快方法，不需要任何额外的空间。
3.3 加密
异或运算可以用于加密。
第一步，明文（text）与密钥（key）进行异或运算，可以得到密文（cipherText）。
text ^ key = cipherText
第二步，密文与密钥再次进行异或运算，就可以还原成明文。
cipherText ^ key = text
原理很简单，如果明文是 x，密钥是 y，那么 x 连续与 y 进行两次异或运算，得到自身。
(x ^ y) ^ y = x ^ (y ^ y) = x ^ 0 = x
3.4 数据备份
异或运算可以用于数据备份。
文件 x 和文件 y 进行异或运算，产生一个备份文件 z。
x ^ y = z
以后，无论是文件 x 或文件 y 损坏，只要不是两个原始文件同时损坏，就能根据另一个文件和备份文件，进行还原。
x ^ z = x ^ (x ^ y) = (x ^ x) ^ y = 0 ^ y = y
上面的例子是 y 损坏，x 和 z 进行异或运算，就能得到 y。
四、一道面试题
一些面试的算法题，也能使用异或运算快速求解。
请看下面这道题。
一个数组包含 n-1 个成员，这些成员是 1 到 n 之间的整数，且没有重复，请找出缺少的那个数字。
最快的解答方法，就是把所有数组成员（A[0] 一直到 A[n-2]）与 1 到 n 的整数全部放在一起，进行异或运算。
A[0] ^ A[1] ^ ... ^ A[n-2] ^ 1 ^ 2 ^ ... ^ n
上面这个式子中，每个数组成员都会出现两次，相同的值进行异或运算就会得到 0。只有缺少的那个数字出现一次，所以最后得到的就是这个值。
你可能想到了，加法也可以解这道题。
1 + 2 + ... + n - A[0] - A[1] - ... - A[n-2]
但是，加法的速度没有异或运算快，而且需要额外的空间。如果数字比较大，还有溢出的可能。
下面是一道类似的题目，大家可以作为练习。
一个数组包含 n+1 个成员，这些成员是 1 到 n 之间的整数。只有一个成员出现了两次，其他成员都只出现一次，请找出重复出现的那个数字。
五、参考链接
（完）
mguy 说：
请问在浏览器测试 1 ^ 2的值是3,是什么原因啊
2021年1月27日 10:16 | # | 引用
mguy 说：
明白了,二进制...
2021年1月27日 10:18 | # | 引用
woodong 说：
请问一下，为什么是 A[n-2]？ 不是A[n-1] ？ n-2 好像算出来的结果不对。
2021年1月27日 10:41 | # | 引用
woodong 说：
明白了，因为缺少一个数
2021年1月27日 10:51 | # | 引用
saheibe 说：
用异或加密 ，有2个原文和对应的加密结果就可以反推出密钥。
2021年1月27日 12:48 | # | 引用
王大炮 说：
2021年1月27日 14:00 | # | 引用
MAXIM 说：
怎么反推?
2021年1月27日 16:26 | # | 引用
emon100 说：
异或交换最省空间，但不一定正确。
如下是一段会出问题的C语言代码，出问题的原因是交换时a,b指针指向同一个变量v
int v=1;
int *a=&v,*b=&v;
(*a)=(*a)^(*b);
(*b)=(*a)^(*b);
(*a)=(*a)^(*b);
printf("%d",v);// 0
使用普通方法交换时并不会出问题
int v=1;
int *a=&v,*b=&v;
int tmp;
tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
printf("%d",v);// 1
2021年1月27日 17:44 | # | 引用
andy 说：
贴上 力扣上缺失的数字题目 https://leetcode-cn.com/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/
2021年1月27日 21:55 | # | 引用
Rivalsa 说：
我怎么感觉一个原文和加密结果就能算出密钥呢？
2021年1月28日 08:11 | # | 引用
江月 说：
请问大家，'a1' ^ 'a2' == 0 是什么原因？
2021年1月28日 09:36 | # | 引用
何必 说：
看到老师分享链接的文章也很有意思 翻译&补充了一下 有兴趣的小伙伴可以看看呀 https://juejin.cn/post/6922667752972894221/
2021年1月28日 12:53 | # | 引用
郭帅 说：
最后一道题目的答案：先把这 N + 1 个数字全部 XOR，得到的值再和 1 到 N 都 XOR 一下，最终结果就是重复的数。（因为它出现了三次，未抵消；其他数都只出现了两次，抵消。）
2021年1月28日 20:50 | # | 引用
mfk 说：
那个例子和答案不对。
例如：1，2，3，4中我少了4，你 1^2^3=0，根本就不是正确的答案。
你给的答案是“有很多数字每个出现2次，只有一个数字只出现了1次，请找出只出现1次的那个数字”这个题的。
2021年1月29日 09:31 | # | 引用
Rigyoku 说：
解法写的是1^2^3^1^2^3^4 和你后面说的应该是一个意思 没问题
2021年1月29日 16:38 | # | 引用
Dove 说：
使用异或交换两个数字虽然不需要一个额外变量，但是并不能带来性能的提升。（可以从编译后的汇编码中求证）而且这种写法容易导致一种问题，就是 swap(&a, &a) 这种调用会导致a变为0，因此不推荐使用。
另外”加法的速度没有异或运算快，而且需要额外的空间”这句话不一定正确。现代计算机中加法和异或运算是一样快的，都只要一个cpu时钟周期。不过处于对溢出的考虑，加法相对不可靠。
2021年2月 1日 13:15 | # | 引用
ksy 说：
点赞，之前老是感觉异或有些懵，感觉就差一点理解，现在真的是一点就透啊;
2021年2月 2日 11:11 | # | 引用
Locust 说：
@emon100：
这个是两个值的交换，你这个是因为引入了第三个值v，而且跟指针和引用有关系
2021年2月 8日 11:07 | # | 引用
齐仁 说：
'a'^'b'在js中为什么不是将字符串转为二进制后进行异或运算？是有什么隐情在里面吗？
2021年3月 2日 15:26 | # | 引用
胡糊糊 说：
最后那道练习的解法应该是把所有数组成员（A[0] 一直到 A[n]）与 1 到 n 的整数全部放在一起，进行异或运算。这样重复的那个数字应该会出现3次，异或计算以后只剩下一次，得到这个数字。
编程初学者，不知道解的对不对，望赐教。
2021年3月 5日 22:05 | # | 引用
乱敲代码 说：
真的是想什么，阮大发什么。最近正在看这块的知识
2021年4月22日 15:35 | # | 引用
hf 说：
哈哈哈，牛批哦！一直没仔仔细细看XOR的用法分析，今天看到了，很有意思。
2021年6月23日 14:29 | # | 引用
草色青青 说：
用全是1的明文去异或加密得到的加密结果就是秘钥的反，再求反就得到了密文
^(1^cipherkey)
2021年10月 5日 15:03 | # | 引用
梅子奕 说：
请问咋用浏览器测试异或？
2021年11月 2日 16:34 | # | 引用
K 说：
就f12在控制台console输出就行了啊
2021年11月 9日 13:56 | # | 引用
edte 说：
最后一题和给的例子是一样的，重复的直接异或为 0，然后 0^x=x，所以和缺失一个数字是一样的。直接与 1.2.3...n 异或即可。
2021年11月15日 10:41 | # | 引用
阳络 说：
3.4 数据备份。数据备份直接生成x的copy不就好了么？没明白为什么要异或成z进行备份？（奥卡姆剃刀原理，如无必要勿增实体）
2021年12月13日 06:47 | # | 引用
bgfist 说：
问题是都加密了，怎么还能得到原文呢
2022年1月 8日 17:29 | # | 引用
liweizheng 说：
@mfk：
这俩本来就是一个问题啊，是你的解法不对，要把所有数都^起来。
2022年1月20日 14:59 | # | 引用
liweizheng 说：
这是异或的性质啊
2022年1月20日 15:01 | # | 引用
Kyle_Jehring 说：
@emon100：
这种情况是因为在一个地址空间中对自身做异或，因此肯定会出问题
结局方案就是在交换之前判断一下a、b指针是否指向同一片地址空间
if(a == b) return;
按照原文的说法X、Y是两个变量，默认在栈中分配了两个地址，因此原文没问题
2022年6月26日 12:13 | # | 引用
butui 说：
因为是备份两个文件
2022年7月14日 09:35 | # | 引用
缪子龙 说：
写的很好,有两点我记录一下:
1. 使用异或做加密算法是对称加密,目前使用不是太多,容易被黑客破解
2. 查缺失或者多出来一个数字的问题,可以使用快排后用二分法,速度更快 时间复杂度为O(2log(n)) 一般比O(n)要快的
2022年10月15日 09:26 | # | 引用
Jeffery@SLC 说：
@缪子龙：
我感觉你说的快排然后二分查找的时间复杂度不太对，外层循环不用考虑么？
2022年12月 5日 07:20 | # | 引用
Jeffery@SLC 说：
例子是leetcode 268. Missing Number，今天刚刚做到，异或确实是最佳的了。
2023年3月 1日 12:52 | # | 引用
dw 说：
前面的例子要将1……n也都放进去。
0001B^0010B^0011B^0001B^0010B^0011B^0100B=0100B=4
2023年10月31日 20:14 | # | 引用
徐 说：
我觉得XOR理解为“存在差异的OR” 可能更好理解一些
2024年9月 9日 19:15 | # | 引用
阮二峰 说：
我不太明白異或這個運算跟『或』有什麼關係，其實就只是『異』吧？
2024年10月12日 11:15 | # | 引用
阮二峰 说：
还是不太好理解，因为就是“存在差异”，后面的“的OR”可以去掉
2024年10月12日 11:17 | # | 引用
许大仙 说：
异或，就是找茬（很多游戏中，两个类似的图片，让你找出图片中的不同点）。
在数学上，异或就是差集！！！
2024年11月15日 16:02 | # | 引用