关于2的补码

作者: 阮一峰

日期: 2009年8月 5日

问一个基本的问题。

负数在计算机中如何表示?

举例来说,+8在计算机中表示为二进制的1000,那么-8怎么表示呢?

很容易想到,可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位,它等于0时就表示正数,等于1时就表示负数。比如,在8位机中,规定每个字节的最高位为符号位。那么,+8就是00001000,而-8则是10001000。

但是,随便找一本《计算机原理》,都会告诉你,实际上,计算机内部采用2的补码(Two's Complement)表示负数。

什么是2的补码?

它是一种数值的转换方法,要分二步完成:

第一步,每一个二进制位都取相反值,0变成1,1变成0。比如,00001000的相反值就是11110111。

第二步,将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。

所以,00001000的2的补码就是11111000。也就是说,-8在计算机(8位机)中就是用11111000表示。

不知道你怎么看,反正我觉得很奇怪,为什么要采用这么麻烦的方式表示负数,更直觉的方式难道不好吗?

昨天,我在一本书里又看到了这个问题,然后就花了一点时间到网上找资料,现在总算彻底搞明白了。

2的补码的好处

首先,要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数,其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系,就可以用任意方式表示负数。所以,既然可以任意选择,那么理应选择一种最方便的方式。

2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在,所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

还是以-8作为例子。

假定有两种表示方法。一种是直觉表示法,即10001000;另一种是2的补码表示法,即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便?

随便写一个计算式,16 + (-8) = ?

16的二进制表示是 00010000,所以用直觉表示法,加法就要写成:

 00010000
+10001000
---------
 10011000

可以看到,如果按照正常的加法规则,就会得到10011000的结果,转成十进制就是-24。显然,这是错误的答案。也就是说,在这种情况下,正常的加法规则不适用于正数与负数的加法,因此必须制定两套运算规则,一套用于正数加正数,还有一套用于正数加负数。从电路上说,就是必须为加法运算做两种电路。

现在,再来看2的补码表示法。

 00010000
+11111000
---------
100001000

可以看到,按照正常的加法规则,得到的结果是100001000。注意,这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机,因此最高的第9位是一个溢出位,会被自动舍去。所以,结果就变成了00001000,转成十进制正好是8,也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了,2的补码表示法可以将加法运算规则,扩展到整个整数集,从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。

2的补码的本质

在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前,我们先看看它的本质,也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。

要将正数转成对应的负数,其实只要用0减去这个数就可以了。比如,-8其实就是0-8。

已知8的二进制是00001000,-8就可以用下面的式子求出:

 00000000
-00001000
---------

因为00000000(被减数)小于0000100(减数),所以不够减。请回忆一下小学算术,如果被减数的某一位小于减数,我们怎么办?很简单,问上一位借1就可以了。

所以,0000000也问上一位借了1,也就是说,被减数其实是100000000,算式也就改写成:

100000000
-00001000
---------
 11111000

进一步观察,可以发现100000000 = 11111111 + 1,所以上面的式子可以拆成两个:

 11111111
-00001000
---------
 11110111
+00000001
---------
 11111000

2的补码的两个转换步骤就是这么来的。

为什么正数加法适用于2的补码?

实际上,我们要证明的是,X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。

Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以,X加上Y的2的补码,就等于:

X + (11111111-Y) + 1

我们假定这个算式的结果等于Z,即 Z = X + (11111111-Y) + 1

接下来,分成两种情况讨论。

第一种情况,如果X小于Y,那么Z是一个负数。这时,我们就对Z采用2的补码的逆运算,求出它对应的正数绝对值,再在前面加上负号就行了。所以,

Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y

第二种情况,如果X大于Y,这意味着Z肯定大于11111111,但是我们规定了这是8位机,最高的第9位是溢出位,必须被舍去,这相当于减去100000000。所以,

Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y

这就证明了,在正常的加法规则下,可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之,计算机只要部署加法电路和补码电路,就可以完成所有整数的加法。

(完)

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留言(55条)

受教了,谢谢。

Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”,而是“2的补码”。
同样还可以有其他的补码,比如UDP checksum用"1的补码”.

呵呵..这个以前在数电中学过..基本上忘记了..
看到这个又回忆起来了..受教..

写得很不错,长进了:)

记得数字电路有超前进位加法计算器的设计于实现……
当年实验室就数字电路还有点意思是凭着兴趣没日没夜的做实验……
现在都快忘光了。

引用daryl的发言:

Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”,而是“2的补码”。
同样还可以有其他的补码,比如UDP checksum用"1的补码”.

多谢指出。确实是你说的对,我没有仔细考虑译名,现在已经改过来了。

唉,像我这样的非专业人士与专业人士的差距就在这里,对一些基础概念和基础术语把握不好。

谢谢,以前一直对为什么用补码很疑惑,现在明白了

谢谢,现在明白了,以前看计算机原理的书一直没有弄懂这个是怎么回事。

乘法其实是加法, 除法其实是减法, 减法其实也是加法, 所以到最后,我们只需要设计加法的电路就够了

2的补码差强人意,二补数更准确(见维基百科)。不过补码专门用来指关于二的补数,所以直接说补码也可,2的补码显得不通。

感谢能有这样清楚明白的文章,比计算机专业解释的要好,因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么,也没有兴趣去引导你发现为什么,总是先整一堆定义和定理,强行让人接受,再去应用到考试里,就这种态度和做法,首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了

这个世界上要是能多找到一些这样的文章就好了!

阮兄的专业是经济学,可是为什么会花那么多时间来研究计算机的基本常识呢?

Z = X + (11111111-Y) + 1式子可以写为Z = X - Y +100000000,这在硬件上可以理解为两部分电路来实现,第一部分是前面的X - Y(这里姑且不管计算的结果是正还是负),第二部分是X - Y计算的结果再和100000000相加,最终得到计算的结果Z, 而在8位的计算机上100000000是不能出现的,其实这时100000000就相当于00000000(舍去了最高位),然后我们再看一些计算的过程:
Z = X + (11111111 - Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y
证毕。
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成,而不必分两种情况来证明。

引用FreeWater的发言:

这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成,而不必分两种情况来证明。

你的证明比我好,我想得太复杂了,没想到还有简单证法。

引用iceberg的发言:

2的补码差强人意,二补数更准确(见维基百科)。2的补码显得不通。

好像确实是“二补数”的译法比较好,但是还存在One's Complement、Nine's Complement等等术语,都这么翻译,也蛮奇怪的。不过,Two's Complement这个英文词本身就很费解。

引用daryl的发言:
Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”,而是“2的补码”。同样还可以有其他的补码,比如UDP checksum用"1的补码”.
我网上去查查,看来课堂上被误导了。

原来没被误导只是说法不同,这里有个介绍:
http://www.zjidea.com/blog/article/electron/2009-05-24-1.htm
1的补码,2的补码这种说法真的不常见

引用sphinux的发言:
感谢能有这样清楚明白的文章,比计算机专业解释的要好,因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么,也没有兴趣去引导你发现为什么,总是先整一堆定义和定理,强行让人接受,再去应用到考试里,就这种态度和做法,首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了


没有错,但是也没有阻止你去弄明白

为什么会有补码?
在十进制中,如果最高位两位,那么(N - 25) 与 (N + 75)再去掉溢出位,结果是一样的。
在我们古老的哲学思想中,9为至,多过9就是溢则损,损多少呢,损了与75互补的一个数。所以如果N是26,就最多只能加73,加了74就没了,加75就变负的了。
补码的计算?
二进制:由于是二元的,求反加1就直接等于补码,不但步数是确定的,而且只要两步。
十进制:如果从1开始,那么到溢出就要加9,如果步长确定,步数就不确定,如果步数确定,步长就不确定。所以无法用统一的方式达成25到75的转换。

  首先感谢阮大详细的说明,这东西我都已经忘记很久了……-_-|||

引用sphinux的发言:

感谢能有这样清楚明白的文章,比计算机专业解释的要好,因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么,也没有兴趣去引导你发现为什么,总是先整一堆定义和定理,强行让人接受,再去应用到考试里,就这种态度和做法,首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了

  ………………………………
  有没有搞错,我只看过2本(随便挑了市面上最流行销量最好的的)C/C++语言教程,它们的第一章都会讲下数据的类型,基本内容什么的。
  关于2的补码(哎呀不记得书里叫什么了)亦有很详细的解释,阮大讲到的内容其实都有写到,只是并非像阮大这样单独列出,而是在数据存储方式的负数存储里面提到。好像除了运算方便,还有一个避开长数据的单字节和双字节数据存储的冲突问题吧(实在记不清了)
  sphinux同志,您看像我这样的只是为了考二级证才去学的人也记得有这么个东西,并且我觉得很简明扼要啊,本质也说得很清楚不会给我这个电白造成理解障碍…………我说您至于这么抵毁“国内的教材”嘛!!

感谢!

表示正负的和1参0加运算吗?结果的符号怎么判断

感谢解惑,不过这个标题是否可以改改:关于2进制补码表示法

《编码的奥秘》中的第13章有详细的解释。

我的资料里有二元补码、一元补码这样的翻译!

补码还有个重要的用处就是避免0有两种表示方式吧- -

“补码”的百度百科中,提到‘模’的概念,其中时钟的例子,有助于感性的理解。

00001000的2的补码就是11111000

-------------------------------
00001000的2的补码就是00001000

引用bzz的发言:

00001000的2的补码就是11111000

-------------------------------
00001000的2的补码就是00001000

恩 正数的原码,补码,反码是一样的

"第一步,每一个二进制位都取相反值,0变成1,1变成0。比如,00001000的相反值就是11110111。"
这个也不对,符号位是不变的
比如"-8在计算机(8位机)中就是用11111000表示。" 是这么计算的
原码 10001000
反码 11110111
补码 11111000
这样计算才与引号的中的描述相一致;

有一点不太明白,如你所说,-8在8位计算机中用11111000表示,但是在11111000也可以表示正数248,那么计算机碰见11111000时,到底如何解释它呢?是把它当作-8呢?还是248呢?

不好意思,是我没有仔细看你的文章,在你文章开头,已经介绍了符号位。所以11111000对8位计算机来说,不存在歧义,肯定是-8。

上学时一直没弄明白,现在终于明白了,谢谢大牛!

写错了!
00001000的2的补码怎么会是11111000呢?是正数,应该是它自己。
10001000的2的补码才是11111000呢!

看了wiki上的one's complement和two's complement才真正理解了2的补码的意思,收回上一个错误的结论。确实,看英文的原版很重要,翻译过来怎么说都很绕口,很难用中文的思维来理解这个2的补码算什么意思。

之所以产生了上述的混乱是因为作者在“什么是2的补码?”这段的解释,并没有诠释为什么叫“2”的补码,因此就像我们在大学听老师解释补码时所说的,取反+1,现在回忆起来老师讲的是某个数的补码,比如-8的补码是多少,会产生如下的解释:
-8的源码是多少
符号位以外取反是多少
然后末尾+1

而这里作者所表达的其实是8的2的补码,也就是带着符号位取反+1,然后它的结果代表的是-8

所以两种表达,最后都是一个结果,但是一会儿前种说法,一会儿后种说法,本文夹杂了两种说法,并且说法的前提都没讲清楚,所以造成了我的混乱。

不知道第一次看这偏文章的人有没有这样的感觉,一会儿理解了,一会儿又混乱了,这是因为没有从根本上理解它。

不过作者的语言表达能力我觉得还是很强的,支持!

和我的想法完全吻合,渣渣略同!

引用sphinux的发言:

感谢能有这样清楚明白的文章,比计算机专业解释的要好,因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么,也没有兴趣去引导你发现为什么,总是先整一堆定义和定理,强行让人接受,再去应用到考试里,就这种态度和做法,首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了

确实是这样!其实,学校里的老师可能也只是将一些理论,并不能(或者根本就不知道)以具体的实际例子来讲。实际例子能让人看到学习理论的希望,而不会决定茫然。

以直观的方式去理解是最坚实的, 如图示的方式. 这里的图示载体就是数学中的数轴. 我们求一个数的负数, 就是在前面加一个负号, 实质上是在数轴上以零点为中心做一个翻转. 在计算机中, 表示一个数都有一定范围, 如字节, 字或双字等. 以字节为例, 表示正负数时, 正数范围是0-127, 负数范围是用128-255表示-128至-1. 这实质上是将数学中的负半轴做一个平移, 而取反加一做的正是这种平衡. 平衡后加减法就统一成加法了, 如-1是255, 再加1是256, 对于字节来说就溢出了, 归零了. 所以, 以数轴的平移这种图示来理解是最直观的, 也不易忘记.

真麻烦 还不如直接用平衡三进制进行计算,可以直接表示负数

谢谢您分析地这么清楚,已拜读

解惑...惑了很多年

谢谢分享,十分易懂,其实就是模的概念。

CSAPP讲得很详细

原码存在的问题是:0有2种表示,即“+0”和“-0”,存在二义性。
补码存在的原因是:可以把减法当作加法来处理。
这样理解对么?

前面都理解了 最后的推导的就有点不理解了 还想问 阮哥 -128 -> 1000 0000 这个怎么理解 这个从我学编程 一直困扰我很久了

引用编程俗家弟子的发言:

前面都理解了 最后的推导的就有点不理解了 还想问 阮哥-128 -> 1000 0000 这个怎么理解 这个从我学编程 一直困扰我很久了

你是想说这个应该是-0吧?
首先8bit机,1bit符号位,最大整数是127,1000 0000肯定不是+128;
-0(1000 0000 正常想的)->取反 1111 1111 + 1 = 1 0000 0000(-0补码), 首位溢出不存,就是0000 0000;
-128: 1000 0000(128)->取反 0111 1111 + 1 = 1000 0000(-128补码)。

作为一个大一新生,很感谢这篇优秀的论文,上课没听懂,现在懂了。拜读,

好像被减数比减数小的不适用?

176-253=176+(-253)
176=10110000
253=11111101
253(反)=00000010
253(补)=00000010+1=00000011
-253=253(补)=00000011
176+-(253)=10110000+00000011=10110011=
179?
而实际176-253=-77
求解释为什么会这样??

表达的真好,但是再加上 模的感念 就更好了

说的太好了。以前大学的老师都没有讲清这个问题,一些大学的老师水平真的令人汗颜的差

引用jordan的发言:

好像被减数比减数小的不适用?

176-253=176+(-253)
176=10110000
253=11111101
253(反)=00000010
253(补)=00000010+1=00000011
-253=253(补)=00000011
176+-(253)=10110000+00000011=10110011=
179?
而实际176-253=-77
求解释为什么会这样??

因为缺少符号位导致补码和原码混淆。具体解释如下:
1.使用补码表示符号数时必须带有符号位。在没有符号位的情况下,同一个补码对应的可能是一个负数,也可能是一个正数。
2.做加减运算时,补码只能和补码进行运算(废话:P),得到的结果当然还是补码。
OK!现在来看上面的问题,看看加上符号位后结果如何:
176-253=176+[-253]
176(补)=0 1011 0000 [-253](补)=1 0000 0011
176(补)+[-253](补)=1 1011 0011
1 1011 0011是一个负数,对应的原码正好是1 0100 1101=-77

引用x6Rulin的发言:

因为缺少符号位导致补码和原码混淆。具体解释如下:
1.使用补码表示符号数时必须带有符号位。在没有符号位的情况下,同一个补码对应的可能是一个负数,也可能是一个正数。
2.做加减运算时,补码只能和补码进行运算(废话:P),得到的结果当然还是补码。
OK!现在来看上面的问题,看看加上符号位后结果如何:
176-253=176+[-253]
176(补)=0 1011 0000[-253](补)=1 0000 0011
176(补)+[-253](补)=1 1011 0011
1 1011 0011是一个负数,对应的原码正好是1 0100 1101=-77

看了一下原问题,再补充一点东西。
原问题中的推导:253(补)=00000010+1=00000011
-253=253(补)=00000011
是错误的。正数的补码与原码相同,负数的补码是其绝对值的原码按位取反后加一(包括符号位),
eg.[-253](补)=253(反)+1=0 1111 1101(反)+0 0000 0001=1 0000 0010+0 0000 0001=1 0000 0011
ps:对补码的一种比较形象的理解方式是参照钟表。以0点为原点,顺时针为正,逆时针为负,补码就是按照顺时针读出的结果。而其在数学上的对应物正是模运算。

一种最简单的理解方式:
0000 0000 = 0

那么在 0 的基础上 -1 就是(想象成借位减法):
1111 1111 = -1

以此类推:
1111 1110 = -2
1111 1101 = -3
...

你们的证明方法不算严谨的,譬如说普通十进制满足结合律,计算机这种最高位被舍去同样满足结合律吗,当然也要稍微说明一下的。

补码的定义可以根据 与相应正数相加为零从而得到,以四位数计算机为例。
十进制2被表示 0010,十进制数-2,对应补码数应该是 0010+x = 0000,也就是 0010+x=1 0000,解出x为1110,这就是-2的补码表示。
通过这种定义,假设十进制数为Y,对应二进制数为y,
则Y-Y=y+ (-Y的相应补码)=0。(根据定义)
因为两个正的十进制数相加,如果不溢出必然等于相对应两个二进制数相加,故
则任取一个正数Z,对应二进制位z则必然
Z+Y-Y=z+y+(-Y的相应补码),
令X=Z+Y,显然X对应二进制数位z+y (Z,Y都是正数)
即X是任意一个正数,且满足 X-Y=x+(-Y相应补码)
证毕

这是我看到的最浅显易懂的教材,虽有不足,但能让人茅塞顿开。留言也很精彩,让人由浅入深,了解更多。

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