问一个基本的问题。
负数在计算机中如何表示？
举例来说，+8在计算机中表示为二进制的1000，那么-8怎么表示呢？
很容易想到，可以将一个二进制位（bit）专门规定为符号位，它等于0时就表示正数，等于1时就表示负数。比如，在8位机中，规定每个字节的最高位为符号位。那么，+8就是00001000，而-8则是10001000。
但是，随便找一本《计算机原理》，都会告诉你，实际上，计算机内部采用2的补码（Two's Complement）表示负数。
什么是2的补码？
它是一种数值的转换方法，要分二步完成：
第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。
第二步，将上一步得到的值加1。11110111就变成11111000。
所以，00001000的2的补码就是11111000。也就是说，-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。
不知道你怎么看，反正我觉得很奇怪，为什么要采用这么麻烦的方式表示负数，更直觉的方式难道不好吗？
昨天，我在一本书里又看到了这个问题，然后就花了一点时间到网上找资料，现在总算彻底搞明白了。
2的补码的好处
首先，要明确一点。计算机内部用什么方式表示负数，其实是无所谓的。只要能够保持一一对应的关系，就可以用任意方式表示负数。所以，既然可以任意选择，那么理应选择一种最方便的方式。
2的补码就是最方便的方式。它的便利体现在，所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
还是以-8作为例子。
假定有两种表示方法。一种是直觉表示法，即10001000；另一种是2的补码表示法，即11111000。请问哪一种表示法在加法运算中更方便？
随便写一个计算式，16 + (-8) = ?
16的二进制表示是 00010000，所以用直觉表示法，加法就要写成：
０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
１００１１０００
可以看到，如果按照正常的加法规则，就会得到10011000的结果，转成十进制就是-24。显然，这是错误的答案。也就是说，在这种情况下，正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。
现在，再来看2的补码表示法。
０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
2的补码的本质
在回答2的补码为什么能正确实现加法运算之前，我们先看看它的本质，也就是那两个步骤的转换方法是怎么来的。
要将正数转成对应的负数，其实只要用0减去这个数就可以了。比如，-8其实就是0-8。
已知8的二进制是00001000，-8就可以用下面的式子求出：
００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
因为00000000（被减数）小于0000100（减数），所以不够减。请回忆一下小学算术，如果被减数的某一位小于减数，我们怎么办？很简单，问上一位借1就可以了。
所以，0000000也问上一位借了1，也就是说，被减数其实是100000000，算式也就改写成：
１００００００００
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１１０００
进一步观察，可以发现100000000 = 11111111 + 1，所以上面的式子可以拆成两个：
１１１１１１１１
－００００１０００
－－－－－－－－－
１１１１０１１１
＋０００００００１
－－－－－－－－－
１１１１１０００
2的补码的两个转换步骤就是这么来的。
为什么正数加法适用于2的补码？
实际上，我们要证明的是，X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成。
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
X + (11111111-Y) + 1
我们假定这个算式的结果等于Z，即 Z = X + (11111111-Y) + 1
接下来，分成两种情况讨论。
第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，
Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y
第二种情况，如果X大于Y，这意味着Z肯定大于11111111，但是我们规定了这是8位机，最高的第9位是溢出位，必须被舍去，这相当于减去100000000。所以，
Z = Z - 100000000 = X + (11111111-Y) + 1 - 100000000 = X - Y
这就证明了，在正常的加法规则下，可以利用2的补码得到正数与负数相加的正确结果。换言之，计算机只要部署加法电路和补码电路，就可以完成所有整数的加法。
（完）
Harvey 说：
受教了，谢谢。
2009年8月 5日 17:49 | # | 引用
daryl 说：
Two's Complement 可不能翻译成“二进制补码”，而是“2的补码”。
同样还可以有其他的补码，比如UDP checksum用"1的补码”.
2009年8月 5日 18:38 | # | 引用
xifs 说：
呵呵..这个以前在数电中学过..基本上忘记了..
看到这个又回忆起来了..受教..
2009年8月 5日 19:40 | # | 引用
双木舟 说：
写得很不错，长进了：）
2009年8月 5日 19:47 | # | 引用
dylanklc 说：
记得数字电路有超前进位加法计算器的设计于实现……
当年实验室就数字电路还有点意思是凭着兴趣没日没夜的做实验……
现在都快忘光了。
2009年8月 5日 20:27 | # | 引用
Ruan YiFeng 说：
多谢指出。确实是你说的对，我没有仔细考虑译名，现在已经改过来了。
唉，像我这样的非专业人士与专业人士的差距就在这里，对一些基础概念和基础术语把握不好。
2009年8月 5日 20:37 | # | 引用
Hoyou 说：
谢谢，以前一直对为什么用补码很疑惑，现在明白了
2009年8月 5日 21:58 | # | 引用
11 说：
谢谢，现在明白了，以前看计算机原理的书一直没有弄懂这个是怎么回事。
2009年8月 5日 23:21 | # | 引用
issac 说：
乘法其实是加法, 除法其实是减法, 减法其实也是加法, 所以到最后,我们只需要设计加法的电路就够了
2009年8月 6日 01:03 | # | 引用
iceberg 说：
2的补码差强人意，二补数更准确（见维基百科）。不过补码专门用来指关于二的补数，所以直接说补码也可，2的补码显得不通。
2009年8月 6日 01:10 | # | 引用
sphinux 说：
感谢能有这样清楚明白的文章，比计算机专业解释的要好，因为简明扼要而又说清楚本质。问题是国内的教材里不会告诉你为什么，也没有兴趣去引导你发现为什么，总是先整一堆定义和定理，强行让人接受，再去应用到考试里，就这种态度和做法，首先就把很多潜在的兴趣和天份扼杀了
2009年8月 6日 01:28 | # | 引用
yxsongbo 说：
2009年8月 6日 12:57 | # | 引用
yxsongbo 说：
阮兄的专业是经济学，可是为什么会花那么多时间来研究计算机的基本常识呢？
2009年8月 6日 13:04 | # | 引用
FreeWater 说：
Z = X + (11111111-Y) + 1式子可以写为Z = X - Y +100000000，这在硬件上可以理解为两部分电路来实现，第一部分是前面的X - Y（这里姑且不管计算的结果是正还是负），第二部分是X - Y计算的结果再和100000000相加，最终得到计算的结果Z, 而在8位的计算机上100000000是不能出现的，其实这时100000000就相当于00000000（舍去了最高位），然后我们再看一些计算的过程：
Z = X + （11111111 - Y) + 1
= X - Y + 100000000
= X - Y + 00000000
= X - Y
证毕。
这样我们就证明了X-Y或X+(-Y)可以用X加上Y的2的补码完成，而不必分两种情况来证明。
2009年8月 6日 14:51 | # | 引用
Ruan YiFeng 说：
你的证明比我好，我想得太复杂了，没想到还有简单证法。
好像确实是“二补数”的译法比较好，但是还存在One's Complement、Nine's Complement等等术语，都这么翻译，也蛮奇怪的。不过，Two's Complement这个英文词本身就很费解。
2009年8月 6日 19:26 | # | 引用
半就业 说：
2009年8月 6日 23:12 | # | 引用
半就业 说：
原来没被误导只是说法不同，这里有个介绍：
http://www.zjidea.com/blog/article/electron/2009-05-24-1.htm
1的补码，2的补码这种说法真的不常见
2009年8月 6日 23:25 | # | 引用
无业 说：
没有错，但是也没有阻止你去弄明白
2009年8月 7日 18:11 | # | 引用
wanghsiaodong 说：
为什么会有补码？
在十进制中，如果最高位两位，那么(N - 25) 与 (N + 75)再去掉溢出位，结果是一样的。
在我们古老的哲学思想中，9为至，多过9就是溢则损，损多少呢，损了与75互补的一个数。所以如果N是26，就最多只能加73，加了74就没了，加75就变负的了。
补码的计算？
二进制：由于是二元的，求反加1就直接等于补码，不但步数是确定的，而且只要两步。
十进制：如果从1开始，那么到溢出就要加9，如果步长确定，步数就不确定，如果步数确定，步长就不确定。所以无法用统一的方式达成25到75的转换。
2009年8月 8日 23:02 | # | 引用
shark 说：
首先感谢阮大详细的说明，这东西我都已经忘记很久了……-_-|||
………………………………
有没有搞错，我只看过2本（随便挑了市面上最流行销量最好的的）C/C++语言教程，它们的第一章都会讲下数据的类型，基本内容什么的。
关于2的补码（哎呀不记得书里叫什么了）亦有很详细的解释，阮大讲到的内容其实都有写到，只是并非像阮大这样单独列出，而是在数据存储方式的负数存储里面提到。好像除了运算方便，还有一个避开长数据的单字节和双字节数据存储的冲突问题吧（实在记不清了）
sphinux同志，您看像我这样的只是为了考二级证才去学的人也记得有这么个东西，并且我觉得很简明扼要啊，本质也说得很清楚不会给我这个电白造成理解障碍…………我说您至于这么抵毁“国内的教材”嘛！！
2009年8月14日 21:26 | # | 引用
TOM 说：
感谢！
2009年8月22日 09:55 | # | 引用
Sean 说：
表示正负的和1参0加运算吗？结果的符号怎么判断
2009年9月 3日 13:13 | # | 引用
winxie 说：
感谢解惑，不过这个标题是否可以改改：关于２进制补码表示法
2009年10月 8日 11:00 | # | 引用
hshqcn 说：
《编码的奥秘》中的第13章有详细的解释。
2010年3月 2日 14:39 | # | 引用
bluebear720 说：
我的资料里有二元补码、一元补码这样的翻译！
2010年10月 4日 12:00 | # | 引用
纳米黑客 说：
补码还有个重要的用处就是避免0有两种表示方式吧- -
2011年8月10日 16:52 | # | 引用
meltedmetal 说：
“补码”的百度百科中，提到‘模’的概念，其中时钟的例子，有助于感性的理解。
2011年12月31日 11:55 | # | 引用
bzz 说：
00001000的2的补码就是11111000
-------------------------------
00001000的2的补码就是00001000
2012年6月16日 10:32 | # | 引用
vavio99 说：
"第一步，每一个二进制位都取相反值，0变成1，1变成0。比如，00001000的相反值就是11110111。"
这个也不对,符号位是不变的
比如"-8在计算机（8位机）中就是用11111000表示。" 是这么计算的
原码 10001000
反码 11110111
补码 11111000
这样计算才与引号的中的描述相一致;
2013年4月 1日 21:32 | # | 引用
淡淡的糊涂 说：
有一点不太明白，如你所说，-8在8位计算机中用11111000表示，但是在11111000也可以表示正数248，那么计算机碰见11111000时，到底如何解释它呢？是把它当作-8呢？还是248呢？
2013年5月21日 20:30 | # | 引用
淡淡的糊涂 说：
不好意思，是我没有仔细看你的文章，在你文章开头，已经介绍了符号位。所以11111000对8位计算机来说，不存在歧义，肯定是-8。
2013年5月21日 20:40 | # | 引用
bruce 说：
上学时一直没弄明白，现在终于明白了，谢谢大牛！
2013年7月 1日 17:15 | # | 引用
luobenxlnslb 说：
写错了！
00001000的2的补码怎么会是11111000呢？是正数，应该是它自己。
10001000的2的补码才是11111000呢！
2013年10月15日 23:40 | # | 引用
luobenxlnslb 说：
看了wiki上的one's complement和two's complement才真正理解了2的补码的意思，收回上一个错误的结论。确实，看英文的原版很重要，翻译过来怎么说都很绕口，很难用中文的思维来理解这个2的补码算什么意思。
2014年1月 2日 23:57 | # | 引用
luobenxlnslb 说：
之所以产生了上述的混乱是因为作者在“什么是2的补码？”这段的解释，并没有诠释为什么叫“2”的补码，因此就像我们在大学听老师解释补码时所说的，取反+1，现在回忆起来老师讲的是某个数的补码，比如-8的补码是多少，会产生如下的解释：
-8的源码是多少
符号位以外取反是多少
然后末尾+1
而这里作者所表达的其实是8的2的补码，也就是带着符号位取反+1，然后它的结果代表的是-8
所以两种表达，最后都是一个结果，但是一会儿前种说法，一会儿后种说法，本文夹杂了两种说法，并且说法的前提都没讲清楚，所以造成了我的混乱。
不知道第一次看这偏文章的人有没有这样的感觉，一会儿理解了，一会儿又混乱了，这是因为没有从根本上理解它。
不过作者的语言表达能力我觉得还是很强的，支持！
2014年1月 3日 00:09 | # | 引用
pythonwood 说：
和我的想法完全吻合，渣渣略同！
2014年2月22日 11:58 | # | 引用
wusuopubupt 说：
2014年4月17日 02:11 | # | 引用
追本溯源 说：
以直观的方式去理解是最坚实的, 如图示的方式. 这里的图示载体就是数学中的数轴. 我们求一个数的负数, 就是在前面加一个负号, 实质上是在数轴上以零点为中心做一个翻转. 在计算机中, 表示一个数都有一定范围, 如字节, 字或双字等. 以字节为例, 表示正负数时, 正数范围是0-127, 负数范围是用128-255表示-128至-1. 这实质上是将数学中的负半轴做一个平移, 而取反加一做的正是这种平衡. 平衡后加减法就统一成加法了, 如-1是255, 再加1是256, 对于字节来说就溢出了, 归零了. 所以, 以数轴的平移这种图示来理解是最直观的, 也不易忘记.
2014年6月27日 14:00 | # | 引用
LJC 说：
真麻烦 还不如直接用平衡三进制进行计算，可以直接表示负数
2014年7月10日 23:41 | # | 引用
Eric 说：
谢谢您分析地这么清楚，已拜读
2014年9月17日 21:36 | # | 引用
Grace 说：
解惑...惑了很多年
2014年10月20日 11:22 | # | 引用
kite 说：
谢谢分享，十分易懂，其实就是模的概念。
2014年12月13日 16:43 | # | 引用
Cal 说：
CSAPP讲得很详细
2015年1月19日 10:22 | # | 引用
BadTudou 说：
原码存在的问题是：0有2种表示，即“+0”和“-0”，存在二义性。
补码存在的原因是：可以把减法当作加法来处理。
这样理解对么？
2015年1月20日 11:48 | # | 引用
编程俗家弟子 说：
前面都理解了 最后的推导的就有点不理解了 还想问 阮哥 -128 -> 1000 0000 这个怎么理解 这个从我学编程 一直困扰我很久了
2015年7月20日 17:06 | # | 引用
GnakIewiy 说：
你是想说这个应该是-0吧？
首先8bit机，1bit符号位，最大整数是127，1000 0000肯定不是+128；
-0（1000 0000 正常想的）->取反 1111 1111 + 1 = 1 0000 0000（-0补码）, 首位溢出不存，就是0000 0000；
-128： 1000 0000（128）->取反 0111 1111 + 1 = 1000 0000（-128补码）。
2015年7月24日 11:12 | # | 引用
Galleaxu 说：
作为一个大一新生，很感谢这篇优秀的论文，上课没听懂，现在懂了。拜读，
2015年9月24日 11:53 | # | 引用
jordan 说：
好像被减数比减数小的不适用？
176-253=176+(-253)
176=10110000
253=11111101
253(反)=00000010
253(补)=00000010+1=00000011
-253=253(补)=00000011
176+-(253)=10110000+00000011=10110011=
179?
而实际176-253=-77
求解释为什么会这样？？
2016年3月18日 13:50 | # | 引用
leo 说：
表达的真好，但是再加上 模的感念 就更好了
2016年6月 2日 19:22 | # | 引用
hcc333 说：
说的太好了。以前大学的老师都没有讲清这个问题，一些大学的老师水平真的令人汗颜的差
2016年6月11日 15:26 | # | 引用
x6Rulin 说：
因为缺少符号位导致补码和原码混淆。具体解释如下：
1.使用补码表示符号数时必须带有符号位。在没有符号位的情况下，同一个补码对应的可能是一个负数，也可能是一个正数。
2.做加减运算时，补码只能和补码进行运算（废话:P），得到的结果当然还是补码。
OK！现在来看上面的问题，看看加上符号位后结果如何：
176-253=176+[-253]
176(补)=0 1011 0000 [-253](补)=1 0000 0011
176(补)+[-253](补)=1 1011 0011
1 1011 0011是一个负数，对应的原码正好是1 0100 1101=-77
2016年10月20日 00:07 | # | 引用
x6Rulin 说：
看了一下原问题，再补充一点东西。
原问题中的推导：253(补)=00000010+1=00000011
-253=253(补)=00000011
是错误的。正数的补码与原码相同，负数的补码是其绝对值的原码按位取反后加一（包括符号位），
eg.[-253](补)=253(反)+1=0 1111 1101(反)+0 0000 0001=1 0000 0010+0 0000 0001=1 0000 0011
ps:对补码的一种比较形象的理解方式是参照钟表。以0点为原点，顺时针为正，逆时针为负，补码就是按照顺时针读出的结果。而其在数学上的对应物正是模运算。
2016年10月20日 00:30 | # | 引用
轻如纸张 说：
一种最简单的理解方式：
0000 0000 = 0
那么在 0 的基础上 -1 就是（想象成借位减法）：
1111 1111 = -1
以此类推：
1111 1110 = -2
1111 1101 = -3
...
2016年11月11日 03:25 | # | 引用
guanyilong 说：
你们的证明方法不算严谨的，譬如说普通十进制满足结合律，计算机这种最高位被舍去同样满足结合律吗，当然也要稍微说明一下的。
补码的定义可以根据 与相应正数相加为零从而得到，以四位数计算机为例。
十进制2被表示 0010，十进制数-2，对应补码数应该是 0010+x = 0000，也就是 0010+x=1 0000，解出x为1110，这就是-2的补码表示。
通过这种定义，假设十进制数为Y，对应二进制数为y，
则Y-Y=y+ (-Y的相应补码)=0。（根据定义）
因为两个正的十进制数相加，如果不溢出必然等于相对应两个二进制数相加，故
则任取一个正数Z，对应二进制位z则必然
Z+Y-Y=z+y+(-Y的相应补码)，
令X=Z+Y，显然X对应二进制数位z+y (Z,Y都是正数)
即X是任意一个正数，且满足 X-Y=x+(-Y相应补码)
证毕
2017年2月 3日 17:44 | # | 引用
duyes 说：
这是我看到的最浅显易懂的教材，虽有不足，但能让人茅塞顿开。留言也很精彩，让人由浅入深，了解更多。
2017年2月23日 02:39 | # | 引用
shooke 说：
我记得正数的补码和反码都是他本身，应该不需要在做转换处理啊。不应该出现文章里面写的跟-8冲突的问题啊
2017年11月23日 11:00 | # | 引用
eva00rei00 说：
需要注意注意的是这篇文章无意的淡化了符号位的概念，其实计算时要考虑符号位，比如253转换成二进制是0 1111 1101 而不能是1111 1101
2018年1月 3日 10:59 | # | 引用
Joke_R 说：
文章和留言都很棒啊
2018年10月14日 15:21 | # | 引用
jason 说：
最近在看一本书《编码》，也是这么讲的，这是我这么多年第一次弄明白补码的原理，而且根据这个原理可以很容易的计算出其它进制的补码
2018年12月21日 00:01 | # | 引用
田 说：
不但知其然，还要知其所以然，好棒
2019年2月25日 15:46 | # | 引用
龙 说：
Y的2的补码等于(11111111-Y)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
这段改成这样
Y的2的补码等于(11111111-|Y|)+1。所以，X加上Y的2的补码，就等于：
似乎更清晰
2019年10月19日 19:35 | # | 引用
瑀 说：
其实我上网研究了蛮久，怎么样都没搞懂。。
谢谢你的解说
让我搞懂了2的补码
谢谢
2021年7月10日 22:00 | # | 引用
Hzzz 说：
谢谢你，让我搞懂了2的补码
2021年8月 4日 14:28 | # | 引用
Coelacanthus 说：
这个在数学上叫二进制补数和一进制补数
2021年12月 5日 20:49 | # | 引用
GeneralUniverse 说：
百度百科的补码词条，里面一开始关于模的解释，才是通俗易懂。这里一堆二进制数字加来加去，也说不清为什么0-8里面0能够变成100000000，就是为了借位而已？
2022年7月 5日 18:46 | # | 引用
bsc2xp 说：
“第一种情况，如果X小于Y，那么Z是一个负数。这时，我们就对Z采用2的补码的逆运算，求出它对应的正数绝对值，再在前面加上负号就行了。所以，Z = -[11111111-(Z-1)] = -[11111111-(X + (11111111-Y) + 1-1)] = X - Y”
这里面既有10进制又有2进制的思想，感觉是碰巧凑出来的。不如用模的概念解释更友好。
2023年8月15日 17:19 | # | 引用
bsc2xp 说：
看到某篇文章里的推导过程感觉比较直观清晰，链接：https://www.jianshu.com/p/0ad27ad30a43：
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假设32位机器，X为负数(最高位是符号位，对于负数，即为1)，则有X(绝对值)+X(反)=0xFFFFFFFFF，因此X(绝对值)+X(反)+1=0xFFFFFFFFF+1=0；所以得到0-X(绝对值)=X(反)+1，根据之前的定义X(反)+1即为X的补码，于是有X(补)=X(反)+1=0-X(绝对值)；
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所以根据上述结论可以得出 a - b = a + (0 - b) = a + b补
2023年8月15日 18:25 | # | 引用