数学常数e的含义

作者: 阮一峰

日期: 2011年7月 9日

珠峰培训

1.

e是一个重要的常数,但是我一直不知道,它的真正含义是什么。

它不像π。大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么。你能回答吗?

维基百科说:

"e是自然对数的底数。"

但是,你去看"自然对数",得到的解释却是:

"自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。"

这就构成了循环定义,完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是很奇怪的事情吗?

2.

昨天我读到一篇好文章,它把这个问题解释得非常清楚,而且一看就懂。

它说,什么是e?简单说,e就是增长的极限。

下面就是它的解释。

3.

假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。

那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式:

  

上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样:

  

其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率。

4.

我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。

因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。

  

当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。

  

那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞。

很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?

  

当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828...。

  

因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

5.

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

  

回答就是271.828元,等于100个e。

但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢?

  

为了便于思考,我们取n等于50:

  

我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000所得到的值非常接近e:

  

因此,5%利息率就相当于e的20分之一次方:

  

20分之一正好等于5%的利率率,所以我们可以把公式改写成:

  

上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长。

6.

再考虑时间因素,如果把钱在银行里存2年,可以得到多少钱?

  

在时间t的情况下,通用公式就是:

  

上式就是计算增长量的万能公式,可以适用于任何时间、任何增长率。

7.

回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间?

  

计算结果是13.86年:

  

上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是72法则的来源。

(完)

一灯学堂

优达学城

留言(119条)

拜读了,解释得比较通俗了

这篇也太水了⋯⋯和一贯的高水平不符啊

我教美国小孩微积分,习题里面都有这个...

比较好的解释,其实是:以e为底的指数函数是最“自然”的指数函数。

因为求导的时候,(a^x)对x求导得到a^x 乘以一个常数, 只有在a=e的时候,那个讨厌的常数等于1。(在定义了e之后,可以说,那个常数其实是ln(a)。)

我觉得这一篇没有写清楚,倒不如直接用复利解释。因为没有人规定细菌一天分三次增长就一定要将增长率。这个括号里的除以三来得很牵强。
而到后面复利也没有重新解释一遍,一些不懂的读者可能还是没有看懂~

引用cttet的发言:

我觉得这一篇没有写清楚,倒不如直接用复利解释。因为没有人规定细菌一天分三次增长就一定要将增长率。这个括号里的除以三来得很牵强。
而到后面复利也没有重新解释一遍,一些不懂的读者可能还是没有看懂~

对的,这个地方没解释清楚~

e 是一个数学上抽象的定义,这个定义一般通过求极限的方式给出。楼上几位直接用数学语言说 e 是什么是没有意义的,阮一峰做的就是给这个抽象定义在现实世界找到一个具象的对应,任何抽象概念经过这种对应后,它的本质内涵就显露出来,人们理解会更加深刻,在应用时也会得心应手。

另外每个人都有自己擅长的领域,如果博主写了一个东西刚好你能完全看懂就叫水,那未免太浅薄了。而且从你们的表述上看,还真的未必比博主有更深刻的理解。

这么多年我也一直想弄明白这个自然对数的底数的含义,看了你的文章很有收获。但是因为涉及极限的概念和增长的概念,就不如PAI(圆周率)那样让人一下就明白过来。这个e在高等数学好多应用,甚至在正态分布中也有应用,因为抽象,更增加了理解的难度。

引用ever的发言:

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/f/15f5460b0d41750d9f3f23f47e0ba5fd.png

求极限就可以了, 不必那么复杂

您给解释一下?

引用autoxbc的发言:

每个人都有自己擅长的领域,如果博主写了一个东西刚好你能完全看懂就叫水,那未免太浅薄了。而且从你们的表述上看,还真的未必比博主有更深刻的理解。

同意。楼上几位自己懂了就以为别人也懂,其实就和维基上的“循环定义”一样。造成的结果就是本来懂得人自然明白,本来不懂的人还是什么也不明白。

楼主不光给出了 e 是怎么来的,而且还举例说明了 e 在实际生活中的应用,比如复利计算和 72 法则。而不是像楼上几位同学那样把课本里的干条条拿出来说。这么年,我们的应试教育也该改改了

数学上要给出准确定义还必须像维基的那张图那样用极限定义,否则之后的证明会造成循环论证。而博主的文章说的是为什么要像那张图那样定义。总之意思是相通的,不存在矛盾。

反正我是看明白了,还学到了72法则
虽然上学的时候经常用,但是这个E究竟有什么实际意义,还真不知道

写得太好了,直到今天看完这篇文章才明白e的物理意义到底是什么

三大基本极限之一

写的太好了。

@autoxbc:

说的好。我本来也想反驳楼上某些回复的。你都说了。nice

赞一个!
一直在关注阮大哥的blog,收获很多。

引用colordancer的发言:

说的好。我本来也想反驳楼上某些回复的。你都说了。nice


同意


前几楼简直就是炫耀贴。

e本来就是由17世纪银行从业者(可能就是放贷者)首先发现的。可以参见《e的故事》。

可以有很多定义方法啊。。。比如定义成从加法域到乘法域的同胚同构映射。。。

虽然一直在用e,但还真没有想了解它的真实含义(或者忘了)。
楼主讲得挺好的!在我看来不水。

@hyh:

在美国可能多数人都明白这个e的意义
但您别忘了中国还是有很多人不懂这个的.....

引用天下大乱的发言:

在美国可能多数人都明白这个e的意义

美国人也不一定懂这个,他们顶多是知道那个e的极限定义式子,中国微积分也有。

但是大家很少有人会从增长的极限来思考e,不然也不用在betterexpained上发文章来描述了。

这种insight很重要,比什么定义有价值多了。

引用autoxbc的发言:

e 是一个数学上抽象的定义,这个定义一般通过求极限的方式给出。楼上几位直接用数学语言说 e 是什么是没有意义的,阮一峰做的就是给这个抽象定义在现实世界找到一个具象的对应

囧。是先有log再有exp,有了exp才有e,不存在所谓的循环定义。用数学语言说e当然不可能是没有意义的,是个数学家看到你这么说都要气死了吧。其实这篇文章说的并不是e是什么,而是e派什么用场。但是容我泼盆冷水好吗,光凭这个就敢侈谈让一个连e的定义都不知道的人理解深刻,实在是•••

复利100%,为什么一年后拿到的钱是271元?
这个没看明白,现实生活中100%的利息,一年后就是拿 200元呀。
一个门外汉,请指教!

引用Bruce li的发言:

复利100%,为什么一年后拿到的钱是271元?
这个没看明白,现实生活中100%的利息,一年后就是拿 200元呀。
一个门外汉,请指教!

文中说的是n趋向于无穷的情况,年利率100%的复利是在存款开始后就持续积累计算的,你说的是n等于1的情况,只在1年期满时才会计结一次利息。

Looks like the same?
An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

其实e的含义要从如何发现e开始解释,这样才是最直觉的解释。
因为人类发明积分之后,开始研究各种函数的积分,发现1/x的积分没那么容易表示出来。于是lnx就被找到了,e就被发现了。
这和pi一样,本来就是很直觉的事情,不需要太多例子。况且这个例子一点都不符合直觉,不过是把数学教材上引入e的方式用普通示例重复了一遍。

应该注明是翻译的吧。

这其实只是教学用的,要想知道原来的定义还要看参考文献。
提出e这个符号的是欧拉。最初的定义是用分析中的taylor展开得到的e^x=1+x+x^2/2+...+.
如果你打x换成piI,就是欧拉公式。

原来e是增长的极限。有了这个标准,可以快速大致计算很多数据带来的实际问题,很好。

我不知道前几楼的人到底看懂没有?还是习惯性装币,阮兄的文章是介绍e是怎么来的?真正的意义是什么?不是让你拿个高数的公式求出e来摆显的。

呃,小弟有个地方没多大看懂,求指导。。
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假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。
...
每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
...
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
...
当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
-----------------------------------
假如有1个细胞a,在0时开始分裂新细胞b。
到12时的时候,得到0.5个新细胞b,b也在这个时间点开始分裂新细胞c,c应该在12+24时的时候结束。
在24时的时候,我们得到原细胞a, 新分裂完成细胞b, 还有没完成分裂的细胞c。24处在(12,36)中间,不是应该为0.5个细胞吗?
小弟水平比较水,请大家帮忙指点一下,呵呵。

其实那个细胞例子很不错,表述改下。加入成熟期概念。
假设新生细胞成熟期是24小时,并且进入成熟期才能进行分裂再生。那么经过24小时增长倍数为2.25
如果成熟期从24小时,缩短到12小时就是阮兄的第二个例子。那么假设催熟技术改进,成熟期无限缩短,直到为零。
就是最后那个例子了。

我诚恳的表示没看懂。虽然大学里学过微积分,但是现在连一些最基本的概念都忘光光了,而且,我也想不出学会了这些到底有啥用啊!

引用高斯控的发言:

这其实只是教学用的,要想知道原来的定义还要看参考文献。
提出e这个符号的是欧拉。最初的定义是用分析中的taylor展开得到的e^x=1+x+x^2/2+...+.
如果你打x换成piI,就是欧拉公式。

更早的定义:
In 1683 Jacob Bernoulli looked at the problem of compound interest and, in examining continuous compound interest, he tried to find the limit of (1 + 1/n)^n as n tends to infinity. He used the binomial theorem to show that the limit had to lie between 2 and 3 so we could consider this to be the first approximation found to e. Also if we accept this as a definition of e, it is the first time that a number was defined by a limiting process. He certainly did not recognise any connection between his work and that on logarithms.

引用G STUDENT的发言:

同意

前几楼简直就是炫耀贴。

自己不懂数学不要以为别人也不懂,ever网友给的正是Bernoulli 1683给的定义。

各位, 怎么算出 (1+100%/n)^n 极值为e啊, 来给点详细步骤吧

非常不错,李笑来把英文部分找出来了。

引用LPraYer的发言:

文中说的是n趋向于无穷的情况,年利率100%的复利是在存款开始后就持续积累计算的,你说的是n等于1的情况,只在1年期满时才会计结一次利息。

持续积累总得有个计息期吧?这个间隔是怎样的?不理解……

这篇文章对“自然对数”的底的的那个数的解释的视角更加“自然”了。
维基的解释很有有意思
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm
Origin of the term natural logarithm

正在BetterExplained浏览,在下面发现国外朋友发布的一篇:
Intuitive Understanding Of Euler’s Formula
http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/

很好

引用learscnu的发言:

呃,小弟有个地方没多大看懂,求指导。。
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假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。
...
每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
...
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
...
当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
-----------------------------------
假如有1个细胞a,在0时开始分裂新细胞b。
到12时的时候,得到0.5个新细胞b,b也在这个时间点开始分裂新细胞c,c应该在12+24时的时候结束。
在24时的时候,我们得到原细胞a, 新分裂完成细胞b, 还有没完成分裂的细胞c。24处在(12,36)中间,不是应该为0.5个细胞吗?
小弟水平比较水,请大家帮忙指点一下,呵呵。

这个问题问得好,我一开始也没弄懂,觉得这种情况下应该得到2.5个细胞。仔细思考以后,我发现在细胞分裂这个例子中作者漏掉了一个隐含的重要假设,没有这个假设,所有的推倒都是不成立的。该假设就是细胞在获得分裂能力后只能以与自身大小成正比的速度分裂。例如起始的细胞数为1,那么24小时后从这个细胞分裂出来的细胞也为1,或者说此时细胞总数为1*2=2。但如果起始细胞数为0.5,24小时后总细胞数为0.5*2=1。

所以您提到的细胞c是从b细胞为0.5的大小时开始分裂的。12小时后,c成长为0.5【原细胞起始大小】*0.5【分裂周期】=0.25。

引用nonoob的发言:
三大基本极限之一

求解释

我觉得除了最开始的几楼,后面又有几个人进入了误区。

常数是自然规律在人类定义的数学中的具象表现,也就是说,虽然常数是通过数学定义的,但是它的本质是不隶属于数学的。

有几个人一提到常数就要去查概念,或者直接翻数学史,属于舍本逐末。e 是与它相关的自然规律的反应,在对数和指数以及微积分发明之前,它就已经存在了。同样的,π其实也和圆周没有必然的联系。

如果古人在考察圆周之前就开始研究级数,一样可以定义出一个完全不同的π的概念。数学史有很大的偶然性,它仅仅是数学的注脚,不是数学的圣经。

抛开数学条文和数学史,直接在现实世界找到一个常数所反应的自然规律的具象对应,这是一个有意义的事情,阮一峰做的是这个事情。

发个感谢居然都删贴。。
thx again, Yong.

自己懂不如让最大数量的人懂来得有本事.就像写科普文献未必专业水平就比那些写专业论文的人差,然而恰恰相反.写一些糊弄人的看似深奥的东西比写一些连没怎么上过学的人都能理解的科普小文章要简单得多.

写的不错,看开始没注意看,看到极限就想起来高数里面的夹逼定理证明了。。
赞一下了!

本文作者给的细菌例子并不符合实际~ 实际上复利倒是一个很好的解释。但复利是人为所作。寻找e的概念古人都做过,数学史是数学的一份完备的注脚,而这些注脚中很多的精华都被遗忘忽略。像e这种明显的问题早已是被讨论了无数次了。

这说明中国的经济已经达到极限,不可能永远翻倍增长下去

中国的增长速度可以按照中国的经济传导速度计算这个单位时间是多长时间,中国不是市场经济,传导速度很慢,工人工资也没自主增加能力,也没有投资回报,所以中国的增长时间应该是一个会计年度。

中国是不计算复利的,因此中国的经济增长到了一定水平就无法可持续下去,增长必然减速

随着中国浪费的增长模式不改变,扩张的时候浪费也在扩张,而且速度比增长更快,因此中国的经济会加速下滑

中国经济银行不计算复利,所以要维持下去,必然通过负利率来实现

因为没有复利,所以负利率会比负复利高

因此钱贬值速度会越来越快,和经济下滑速度一样加速下滑

楼主解释得比较形象些。。像用泰勒公式、用极限法解释e的话,还是在用已有定义来定义e,,没多大意思的。

引用Bruce li的发言:

复利100%,为什么一年后拿到的钱是271元?
这个没看明白,现实生活中100%的利息,一年后就是拿 200元呀。
一个门外汉,请指教!


就是套那个公式growth=(e^r)^t。代入数值:增长率r=100%,时间t=1
。(100×e^100%)×1=100×e,e取2.17的整数值所以最后得271元。

引用土木坛子的发言:

非常不错,李笑来把英文部分找出来了。


求英文链接

关于这个问题。。。
维基百科只是附带提了一句,说有些地方把它简单的定义成自然对数的底。但是维基百科明确的在第一句话就说出了它是一个极限。

而我从小学这个 e 的定义就告诉我 e 是一个极限。这个极限的算法也已经给出来了。

中学数学老师靠谱一点的话,按说应该不会存在这样的问题。

我认为,其重要性在于性质:导数等己(一切神奇结论由此而来)。就我目前认识,其定义式反而不重要(只是给出了其存在性,并推导了性质)——换句话说,定义式是推导了并确定了“存在”有这样一个性质的数。打个比方,那极限定义式是老爹,但“导数等己”是其才华。

至于文中“定义”,无法构成原始定义。文中定义语境以数学语言表达即:dx/dt=kx ——求解它,需要对dx/x积分,在定义e从而得到其导数性质进而得到不定积分公式之前,没法求解。总之,这个“极限”能在定义e后对其构成形象“说明”,却不能作为原始“定义”。即,“哦,原来我们之前搞得那个数是xxx的极限!”

很好
我是常人,对找不到现实对应的抽象定义本能排斥
数学天才们不必嗤之以鼻,本文显然不是为你们的

写的太好了!
终于知道了e的真正含义。

关于两个例子:细胞分裂似乎只能从一个完整的细胞开始;复利的计算周期也大多是一年。所以它们的极限可能不容易理解。

感觉从气体液体的体积变化上,也许能找到更好的例子。

大学数学会讲的
只是要好好学才会记住

额,想到了曾经的理科·高三学习生活==

n年后看到数学我是一样的头大

ln 是用1/x的积分来定义的,ln再推出e^x

支持阮一峰老师。争鸣正好体现了本文的价值。
这篇文章我觉得,好就好在,说明了e的一个实际应用意义:增长的极限。当然前提是(1)单位时间,(2)增长率在这段时间内不变。很受启发。
不过,正如网友说的,感觉如果直接用复利讲解,也许更好,细菌那个例子有点不伦不类(这种细菌很。。。)。
大家争论的焦点集中在e的来源上。从数学上讲,e是自然对数的底。按照维基百科,自然是指e是对1/x的积分。如果持此观点,再看本文,本文只能算是e的一个应用,多少会不爽。如果认为e一开始就是由那个极限定义的,那么本文就OK了。
窃以为:
In 1683 Jacob Bernoulli looked at the problem of compound interest and, in examining continuous compound interest, he tried to find the limit of (1 + 1/n)^n as n tends to infinity. He used the binomial theorem to show that the limit had to lie between 2 and 3 so we could consider this to be the first approximation found to e. Also if we accept this as a definition of e, it is the first time that a number was defined by a limiting process. He certainly did not recognise any connection between his work and that on logarithms.
这段英文不能说明e一开始就是由那个极限定义的。文中也说了,如果“if we accept”,以及“He certainly did not recognise any connection between his work and that on logarithms”。
另外,为什么那个极限的结果等于e。考研,同济大学那个高数书直接用“单调有界数列必有极限”这一准则,证明了那个表达式单调且有界,所以极限存在。既然存在,我们就把这个存在的极限叫做e,类似于给e来了个定义。楼上有人说是用夹逼准则证的(记忆力真好,下面的小字都记得),不对,从数列极限推广到函数极限用到的才是夹逼准则。由此,那个极限很可能就是e的来源,但不敢肯定。
我觉得争论很有意义,别人那样想很多时候是有道理的,欢迎讨论。

最后证明极限等于e的数学证明用对数证明的 所以这种解释没有什么说服力 这就好比一个人解释自己是某人的儿子 然后用另一个人说我是刚才那个人的父亲证明一样

细胞分裂的这个比方实在是太不恰切了。。。。。。

为什么一天分裂次数变多,每次分裂出来的东西就变少了?

引用hyh的发言:

比较好的解释,其实是:以e为底的指数函数是最“自然”的指数函数。

因为求导的时候,(a^x)对x求导得到a^x 乘以一个常数, 只有在a=e的时候,那个讨厌的常数等于1。(在定义了e之后,可以说,那个常数其实是ln(a)。)

这种解释不如博主的解释更“自然”

这个e之前了解那么一点点,现在知道很多了

复利的例子不合适, 因为常规情况下计息期是一年而不是无穷小.

有点抽象,没看懂。

不对啊,你仔细想一下,原来有一个细胞A,12小时分裂一次,那这个细胞在一天的12点内分裂出另一个细胞B,在0点时候原有细胞又分裂出一个细胞A1
它新分裂的B在0点的时候又可以分裂出B1
所以这一天结束实际是有4个细胞的啊,怎么出来2.25个呢
,你那想法就有问题,天数是变量,每天分裂几次也是变量,怎么就简简单单一个变量趋于无穷去求极限了呢

引用Leo Song的发言:

不对啊,你仔细想一下,原来有一个细胞A,12小时分裂一次,那这个细胞在一天的12点内分裂出另一个细胞B,在0点时候原有细胞又分裂出一个细胞A1
它新分裂的B在0点的时候又可以分裂出B1
所以这一天结束实际是有4个细胞的啊,怎么出来2.25个呢
,你那想法就有问题,天数是变量,每天分裂几次也是变量,怎么就简简单单一个变量趋于无穷去求极限了呢

24小时增长率是100%,这个没变。 12小时分裂一次,只增加50%。

在复利分析这块没有讲好,与现实脱节严重,不过对E讲的很直观

看了半天 ,越看越爱看 还是说两句
在这样偶然的情况下找到的这个帖子也是让我有爱不释手的感觉
声明本人酷爱数学 因为高中么毕业所以只是笼统的懂了 并没有看到有什么瑕疵
还是很赞的这个帖子 颇感觉受益匪浅

引用高斯控的发言:

这其实只是教学用的,要想知道原来的定义还要看参考文献。
提出e这个符号的是欧拉。最初的定义是用分析中的taylor展开得到的e^x=1+x+x^2/2+...+.
如果你打x换成piI,就是欧拉公式。

这个就不用拿出来讲了吧,阮兄这篇文章只是要说明e“自然”在哪。

我只能说一句废话 楼主求知欲极强啊 学的时侯感觉怪怪的 当时一直没深究 今天一看 竟然还这么深奥的东西在里面。

对我这个需要死记“复利区间次数无限大时有效年利率不是无穷大,而是e的r次方减1”的人来说,这篇文章非常好!感谢!~

数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值

这个表达明显不准确,不是持续的翻倍增长。而是对实现一倍增长的时间无限分割后,实际的增长是多少?
也许我的表达也不准确。
也许有时数学是文字逻辑无法准确表达的,数学其实是另一种语言,比文字语言更精确。
经济学的数理化恰恰相反,把文字逻辑能简单说明白的,偏偏要用数学复杂化。

1天分成2个阶段:每12小时增长率50%,2个12小时能得到1.5^2个细胞
1天分成3个阶段:每8小时增长率33%,3个8小时可以得到1.33333^3个细胞
1天分成4个阶段:每6小时增长率25%,4个6小时可以得到1.25^4个细胞
。。。。。。。
1天分成n个阶段:每24/n小时增长率100%/n,n个24/n小时能得到(1+1/n)^n个细胞

分得越多,也就是n趋向于无穷大时,(1+1/n)^n的值就是e吧,这样容易理解点

引用learscnu的发言:

呃,小弟有个地方没多大看懂,求指导。。
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假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。
...
每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
...
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
...
当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
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假如有1个细胞a,在0时开始分裂新细胞b。
到12时的时候,得到0.5个新细胞b,b也在这个时间点开始分裂新细胞c,c应该在12+24时的时候结束。
在24时的时候,我们得到原细胞a, 新分裂完成细胞b, 还有没完成分裂的细胞c。24处在(12,36)中间,不是应该为0.5个细胞吗?
小弟水平比较水,请大家帮忙指点一下,呵呵。

因为增长率不变 n=3 时的细胞分裂 分3个阶段,
A--1

B--1 1/3(增长)

C--1 1/3 1/3 1/9 (增长)

D--1 1/3 1/3 1/9 1/3 1/9 1/9 1/27(增长)

最后D 的加起来就是64/27


假设中说 细胞每过8小时就具备独立分裂能力(假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。),1/3 和 1/9 个细胞同样具备相同的分裂能力。

新生的 和 老的 有相同的增长率,这个前提是关键,可是这为什么就是我们生活的大自然。比如只有这个太阳系,这个银河系,或者说这个宇宙 的这个大自然具备这种相同增长率的特性。

我想说,这种特性会不会跟十进制有关,二进制怎么讨论增长率。

又或者假设有其他宇宙的存在,然后在其他宇宙的特性是新生的 增长的速率 比老的快或者慢。

越想越感觉有上帝的存在。

不知大家有无发现,中文或者大陆思维对于这些逻辑问题其实是有先天缺陷的。中国人自诩聪明人很多,可对数论的贡献为零。伯努利是个瑞士家族,是欧洲白人。欧洲白人在讨论这些抽象问题时,一定不会自诩这就是教小孩的微积分初步什么的。如果这个问题没有想通,走自己的愚钝的路,让自以为聪明的人自己得意去吧。
感谢一峰和提出问题和解答问题的朋友们,这篇帖子可比当年费马和帕斯卡的通信。如无意外,真才实学就是这样琢磨出来的。

什么是e?很简单就是y=1/x函数曲线中,x=1的直线与x=e的直线所围成的面积就等于1,这就是e。很直观,很形象吧!图我就不画了。

用脑子想e的含义,只用数学推导是不够的,就像地球上没几个人能想象得出四维空间的性质一样(没有破损的克莱因瓶)。

其实只要我们知道e就是个宇宙规律,万物增长(正负)不是无限的,这和光速、圆周率都是一样的。宇宙根本规律,要究其究竟,那要突破物理学的维度了,否则死也无法认识到本来面目。

“假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?”
谁能告诉我为什么不是200

刚才看了楼主的描述,让我想起来生命刚开始的时候的细胞分裂。
1个卵细胞分裂成两个,然后两个同时又分裂。
果然是 一个非常神秘又很自然的数字。

引用琛琛李的发言:
“假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?”谁能告诉我为什么不是200

文中关于复利计算时,少了一个前题条件即,此复利为连续复利(即计息期无穷小),你说的200为一年计算利息一次

复利的例子并不应称为银行复利而应该是连续复利(continuous compounding),原因是(1)银行不是这么算利息的、(2)钱的最小单位是分,不可能是无理数。72法则是从ln2/ln(1+r)而来,对应于银行的利息(实际生活)。如果是文中的例子,则叫69法则,对应于连续复利。
参考:Rule of 72 Wikipedia

阮老师,困扰我很久的一个问题看完您的文章之后让我豁然开朗!谢谢您!

您的解释让我开始明白e的含义,非常感谢!

自学了这么多年的高数,终于对e的认识有了升华,支持!

我觉得大家都很棒,(如果不是数学系的话),对生活抱有好奇和求知的态度,这就很nice!!!

世界上有没有这种事物,根据一年增长100%,得出半年就增长50%,所以两个半年后就又增长了(1+50%)(1+50%)-1=125%

银行有没有这种应用?注意应用是根据多长时间计算一次利息,规定相应的年利率。计息时间和相应的年利率一起确定。计息时间长短改变,相应的年利率一定改变。谁有不管计息期长短,只规定统一的年利率的银行实际应用的例子,请列举。

计算利息的的时间长短和利率的高低都是事先双方都认可的。假定有一家银行,一年后计息,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿利息100元,包括本是200元。

 包括本如果变成 100*lim (1+100%/n)^n=271.828,计算方法的根据何在?实际中有没有这种算法?把利率100%变成171.828%,证得用款人的同意了吗。

在解释年利率为5%时计算复利终值这样解释比较直接:
Lim100(1+5%/n)^n=lim100(1+100%/20n)^n
=lim((1+100%/20n)^20n)^1/20=e^1/20=e^5%
所以,当年利率为r时,t年以后的本利和的极限为
e^rt

按年利率100%计算本利和的公式(1+100%)^t与按年利率100%计算本利和的公式e^(t*ln(1+100%))在数学计算上有无区别?在描述经济问题、资金增长上有无区别?

年利率100%,1元钱按规律(1+100%)^t增值,这是我们在这个问题中的约定。它又是怎么变成按规律e^(t*100%)增值的?

可从数学式子上分析,可画出增长曲线,也可从银行应用等方面分析。


^n=lim100(1+100%/20n)^n
=lim((1+100%/20n)^20n)^1/20=e^1/20=e^5%

這文章對e的解釋,淺顯易懂,適合像我這種數學底子不強的人。
我多年前本科念文科,今年對統計學發生興趣,回到學校修課,
當我學習到poisson distribution時,課本基本上只給公式和範例,不教怎麼推導出公式的。我對於公式的來源和其中的e感到好奇,上網搜尋就連到這了。
很感謝樓主的解釋,讓我對e豁然開朗。

e在数学上的定义很简单,就是(1+1/n)^n对n取极限博主举的细胞分裂和复利的例子就是把这个极限描述了一遍

自然常数e的含义其实是极限完成图Kn里的路径总数W与Kn里的哈密顿路总数h的比值,这和圆周率的周长与直径的比值,即圆周率十分相似。Kn就相当于一个平面圆,哈密顿路就相当于完全图的直径似的。

博主,你想不到吧,这个含义定理我其实在2008年底时就发现了,只是那时我并不清楚这条定理的意义,这段时间知道了它的意义之后,然后就将之写成文档,然后今晚到上传豆丁文库和百度文库了,我都懒得去投稿了,麻烦得要命。

1000个细胞,一周后增加100%,一周后就是2000个;1000个细胞,一周后是2000个,一周的增长率就是100%。这是在小学数学中学到的正确计算。
如果考虑细胞在任何时候数量的增加速度与即时的细胞总量成正比,初始值是1000,周增长率是100%,那么t时间(单位:周)后的细胞总量就是A(t)=1000(1+100%)^t.
细胞总量是A(t)=1000(1+100%)^t.在小学数学中,理解t只取自然数;学过高等数学后,可知t可取连续正实数都是对的。得出不同于A(t)=1000(1+100%)^t的计算都是不对的。细胞数量增长与无理数e无关,与构成无理数e的极限式无关。A(t)=1000(1+100%)^t也可写成
A(t)=1000e^(tln(1+100%))=1000e^(0.693147t),这好比将3/4写成0.75一样。

世界上没有任何事物,根据一年增长100%,得出半年就增长50%,两个半年也就是一年后就又增长了(1+50%)(1+50%)-1=125%。
如果银行有一年期和半年期的储蓄形式,规定一年期的年利率是100%,那么也就会规定半年期的年利率一定小于82.84%,就是半年期的期利率一定小于41.42%,更小于50%。如半年期的期利率大于41.42%,存两个半年,即一年后收入率就大于100%,半年期的储蓄方式给储户增加了半年可取款的机会,还给储户增加收入,一年期的储蓄形式就不存在了。

引用Yong的发言:

这个问题问得好,我一开始也没弄懂,觉得这种情况下应该得到2.5个细胞。仔细思考以后,我发现在细胞分裂这个例子中作者漏掉了一个隐含的重要假设,没有这个假设,所有的推倒都是不成立的。该假设就是细胞在获得分裂能力后只能以与自身大小成正比的速度分裂。例如起始的细胞数为1,那么24小时后从这个细胞分裂出来的细胞也为1,或者说此时细胞总数为1*2=2。但如果起始细胞数为0.5,24小时后总细胞数为0.5*2=1。

所以您提到的细胞c是从b细胞为0.5的大小时开始分裂的。12小时后,c成长为0.5【原细胞起始大小】*0.5【分裂周期】=0.25。

一开始没看懂 看到这个解释明白了

我有个觉得更好的应用,那就是抽奖概率。
先最简单的,抛硬币。一正一反。问抛两次结果是正面的概率。
再说游戏中最常用的开箱子抽奖概率。假设开箱子抽到某宝物的概率是10%,问抽十次抽中的概率是多少?
再来抽更稀有的宝物,抽中几率1%,抽100次的概率是多少?
那千分之一中奖概率抽一千次呢?
结果是趋向于1-1/e的,或者说抽不中的概率是1/e。
这就是不可违背的自然之理e。假如做一件事有一成把握,上天不会一定让你做十次就一定会成功的!跨不过1/e这个坎的!!!

前后看了几遍,终于搞懂细胞分裂问题(原谅一个不上进的专科生吧),之前有人也提出了,可惜文章列出的算式已经看不到了,自己列了一些推导式子:12小时新生细胞可以分裂,那么一天后可以得到:(1+1/2)+(1+1/2)1/2 => (1+1/2)(1+1/2) => (1+1/2)^2 => 9/4=2.25; 8小时新生细胞可以分裂,24/8=3,那么一天后可以得到:(1+1/3)+(1+1/3)1/3+[(1+1/3)+(1+1/3)1/3]1/3 => (1+1/3)(1+1/3)+[(1+1/3)(1+1/3)]1/3 => (1+1/3)^2(1+1/3) => (1+1/3)^3;...;...;...... 12小时8小时时间越来越短就可以得到(1+1/n)^n ,最终求极限是e的值,大概e就是这么来的吧,细胞分裂问题就解决了。

最后看到硬币的回复,之前自己也有考虑过,我想的是:箱子里有99个白球和1个红球,摸一个从箱子里往出拿一个,那么平均摸多少个能摸到红球,至今没想明白,概率难道是上面说的1-1/e?(再次原谅一个后进专科生吧,高中学的东西全忘了)。

“假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。
每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。”
任何一种细胞的分裂速度都是一种(或是在实验室经人工干预的)生物现象,一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次,24小时后其总量只是增加一倍,一个细胞变成两个细胞,靠将一天24小时分成两个阶段、三个阶段、四个阶段分析细胞的分裂方法得出2.25个或更多的细胞个数肯定是错误的。

引用lightingrain的发言:

文中关于复利计算时,少了一个前题条件即,此复利为连续复利(即计息期无穷小),你说的200为一年计算利息一次

没有你这样子去假设条件的,文章是把事情说清楚,而不是非得去抠字眼,非得去抠条件。要是抠条件的话,那这里边的前提条件至少能加上100个。 要是连这个都看不懂,就不要去理解了。

引用杜函敏的发言:

在复利分析这块没有讲好,与现实脱节严重,不过对E讲的很直观

确实,现实生活中一般是按天按月或者按年付息,不可能每时每刻。

真的是好文!!!顶! 不过“把增长率平均分成N份”(*),这算不算一个假设呢? 如果算是的话,e是不是就应该是在(*)假设下的一期的增长极限了?

通常书中讲的“连续复利”这一概念是不对的,构成这一概念的思路是错误的。本人还存有专题讨论连续复利的书《连续复利法的辨正与应用》,可送于对这一问题感兴趣者,有需要者可按一般收快递的要求告知相关信息:收件人,收件地址,收件人电话。本人邮箱:wjmgjk@sohu.com.发快递,书到自付快递费。

老兄,你真的懂复利么?

敢问楼主e是怎么来的,是银行家放利息来的吧。用细胞分裂作解释太牵强了吧?

银行是根据多长时间计算一次利息规定相应的年利率。一年内的计息次数m 和相应的年利率 r 一起确定。计息时间长短改变,相应的年利率 r 一定改变。银行没有不管计息期长短,只规定统一的年利率 r 的算法,所以,构成连续复利的基础A=A。(1+r/m)^(mt) 就是不对的。可以查证,各种银行业务中不会用到A=A。(1+r/m)^(mt)。世界上任何事物都不会用到A=A。(1+r/m)^(mt)。 对没有实际意义的式子A=A。(1+r/m)^(mt)取极限,得出的所谓连续复利概念自然也就没有意义。
不考虑银行储蓄,从金融分析上考虑资金的时间价值,在年利率10%的情况下,资金也应当是按A。(1+10% )^ t=A。e^ (tln(1+10% ))连续增值(t取连续实数即可),而不是按A。e^ (0.1t)=(1+10.517% )^ t。所谓连续复利增值。

无理数 e 有特别重要的用处,但这不表明通常书中讲的这种所谓的连续复利推导和概念不是错误的。

张三借给李四10000元,二人商定年利率是100%,一年后李四还张三20000元,李四走后,张三想:年息是100%,半年就是50%,半年后他就该还15000元了,以15000元为本,再经过半年,又有50%的利息,李四就应该还他22500元了。这种思维的错误是把单利和复利不当的混在一起了。

商定年利率是100%,按单利折算,半年就是50%,按复利,以50%算两个半年,就得出年利率125%;年利率是100%,按单利算,半年就是50%,还按单利,以50%算两个半年,得年利率还是100%;年利率是100%,按复利折算,半年的利率是41.4%,还按复利,以41.4%算两个半年,得年利率还是100%;按复利折算,半年的利率是41.4%,再按单利,以41.4%算两个半年,得年利率就是82.8%。缩短计息期利率就增加,这是采用了按单利拆分年利率,再按复利返回求一年利率的混乱算法。

两人商定年利率时,有意无意地都考虑了资金随时“利生利”、即资金的时间价值。如没有其它因素,张三能以半年期50%的利率借给王五,就不会以一年期100%的利率借给李四;同样,张三能以三个月期25%的利率借给别人,就不会以半年期50%的利率借给王五。

张三的10000元升值成20000元是经历一年的连续过程,不是前0.9年价值还是10000元,到0.9年后一下子就成了20000元。张三与李四商定年利率为100%时,可能没考虑那么多算法和资金的时间价值,可能只是参考了别人的利率标准。实际上,社会的利率标准本身就是资金时间价值的体现,就是资金随时间连续增值、连续复利的结果。单靠计算方法将年利率100%连续复利成e - 1=171.828%当然是不对的了。

5.
有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。
假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

这里应该是“无论以何种方式付利息,一年后最多可以拿多少钱吧"。

还是自己想了想才明白的,细胞这个例子的缺点在于,细胞是有粒度的,细胞分裂是一个非线性的过程,很难想象细胞分裂到一半又继续分裂是什么概念。我觉得不如用液体来举例,因为液体在常识范围内是一种可以无限细分的物质。

假设一个桶中有体积为 1 的液体,上方有一个水管在不停滴水,而滴水的速度始终保持在「如果持续滴水一天能够使水桶中的水体积翻倍」,那么一天之后水桶中的水体积就是 e。

e带入微积分的世界里,就很清楚了。f'(x) = f(x) => f(x) = e^x + C, e^x具有任意阶导数,且连续。在涉及到指数和对数的计算中,经常会引用到这个常数。

阮兄这个文章很好,不过感觉开始就用银行复利展开来讲会更易懂,我当初就是通过复利弄明白e的概念的。

另外,不得不说,吧里那位hyh确实太low了,居然用导数来解释,还自我感觉良好,你以为会高等数学就很了不起?能把复杂的事情用简单的道理解释明白,才是真水平,懂吗?

反观楼上几个人关于 “美国小朋友都知道e” 这个评论,感觉怪怪的。
e 这个常数 怎么来的 —— 楼主给出了很好的注解 和 应用举例。我当初只知道这个值,却不知道意思。

而某些人只说了个定义就 看不起这篇博文 —— 或许,在这些人眼中:美国小朋友拉的屎都是香的。


PS. 我记得一个故事:
李开复(Google前中国区总裁,Google副总裁)在美国大学读书,有一天 教授问 √3 等于多少。李开复 张嘴就答:1.732。教授惊呆了:这么难的计算你脱口而出,你的心算能力好强。
这个故事告诉我们:美国大学生,连 √3=1.732 都不知道,你觉得美国的小学生会知道 e 的含义??!!

【最后:优秀的学术研究者 并不是 说一堆云里雾里让人听不懂的理论,装逼显得自己很厉害 —— 真正优秀的人能够把 复杂的道理浅显化,说得傻子都明白。】

有没有e是无理数的证明直观的方法?
有没有pi是无理数证明直观的方法?

懂了 作者你太好了 造福社会

越来越对数学感兴趣了!

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