一年前的这个时候，我正在翻译Paul Graham的《黑客与画家》。
那本书的第八章，写了一个非常具体的技术问题----如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件（英文版）。
我没完全看懂那一章。当时是硬着头皮，按照字面意思把它译出来的。虽然译文质量还可以，但是心里很不舒服，下决心一定要搞懂它。
一年过去了，我读了一些概率论文献，逐渐发现贝叶斯推断并不难。原理的部分相当容易理解，不需要用到高等数学。
下面就是我的学习笔记。需要声明的是，我并不是这方面的专家，数学其实是我的弱项。欢迎大家提出宝贵意见，让我们共同学习和提高。
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贝叶斯推断及其互联网应用
作者：阮一峰
一、什么是贝叶斯推断
贝叶斯推断（Bayesian inference）是一种统计学方法，用来估计统计量的某种性质。
它是贝叶斯定理（Bayes' theorem）的应用。英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。
贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。
贝叶斯推断需要大量的计算，因此历史上很长一段时间，无法得到广泛应用。只有计算机诞生以后，它才获得真正的重视。人们发现，许多统计量是无法事先进行客观判断的，而互联网时代出现的大型数据集，再加上高速运算能力，为验证这些统计量提供了方便，也为应用贝叶斯推断创造了条件，它的威力正在日益显现。
二、贝叶斯定理
要理解贝叶斯推断，必须先理解贝叶斯定理。后者实际上就是计算"条件概率"的公式。
所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。
因此，
同理可得，
所以，
即
这就是条件概率的计算公式。
三、全概率公式
由于后面要用到，所以除了条件概率以外，这里还要推导全概率公式。
假定样本空间S，是两个事件A与A'的和。
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A'，它们共同构成了样本空间S。
在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。
即
在上一节的推导当中，我们已知
所以，
这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A'构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：
四、贝叶斯推断的含义
对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
所以，条件概率可以理解成下面的式子：
后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。
在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
五、【例子】水果糖问题
为了加深对贝叶斯推断的理解，我们看两个例子。
第一个例子。两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？
我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。
再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。
根据条件概率公式，得到
已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，
所以，
将数字代入原方程，得到
这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。
六、【例子】假阳性问题
第二个例子是一个医学的常见问题，与现实生活关系紧密。
已知某种疾病的发病率是0.001，即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%，即在患者没有得病的情况下，它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？
假定A事件表示得病，那么P(A)为0.001。这就是"先验概率"，即没有做试验之前，我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性，那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率"，即做了试验以后，对发病率的估计。
根据条件概率公式，
用全概率公式改写分母，
将数字代入，
我们得到了一个惊人的结果，P(A|B)约等于0.019。也就是说，即使检验呈现阳性，病人得病的概率，也只是从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？答案是与它的误报率太高有关。（【习题】如果误报率从5%降为1%，请问病人得病的概率会变成多少？）
有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。然后问自己，"假阳性"和"假阴性"，哪一个才是医学检验的主要风险？
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关于贝叶斯推断的原理部分，今天就讲到这里。下一次，将介绍如何使用贝叶斯推断过滤垃圾邮件。
（未完待续）
cndj 说：
汗, 没看明白翻译出来的? 那时候看书还觉得讲的挺清晰的
2011年8月25日 12:36 | # | 引用
tristan 说：
我现在开始惊叹，当年高数是怎么过的。
2011年8月25日 12:48 | # | 引用
qq 说：
可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)
这个是为什么呢,我连这个很清楚的东西都不太清楚,楼主再讲下
2011年8月25日 13:11 | # | 引用
ssddi456 说：
无责任揭底大约提高五倍约10%.
验证方法患病检出正确率在0.995，未患病检出误报率在0.005时，阳性患病几率也不过六成七
单指标检测的正确率实在不怎么样啊
2011年8月25日 14:00 | # | 引用
ls zhao 说：
哎呀，看到这些就头疼地很。当时把高数糊弄过去了，不过这里讲地好
2011年8月25日 14:11 | # | 引用
resty 说：
@qq
因为A B同时发生的概率为P(A∩B) = P(B) * P(A | B) ， 那么P(A | B) = P(A∩B) / P(B)......
2011年8月25日 14:34 | # | 引用
哺风 说：
@qq
“可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的 概率 就是P(A∩B)除以P(B)”
原话应为：
“可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的 条件概率 P(A|B)就是P(A∩B)除以P(B)”
阮兄的原话参看上下文也没错，原文的概率指的就是条件概率。
2011年8月25日 15:16 | # | 引用
自由国度 说：
不就是概率末。。。概率上过大学的人都要学的吧。
不过最初发现的人还是最牛的
2011年8月25日 16:04 | # | 引用
lesley 说：
如果假阴性率是0.05，检验结果是阴性，患病几率是不是5.05*10-5
2011年8月25日 16:39 | # | 引用
colordancer 说：
“请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？”
和
“已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于0.75，”
这颗水果糖来自一号碗 和 一号碗中取出水果糖
这两句话不一样吗
2011年8月25日 17:30 | # | 引用
微波信号 说：
今天各种刺激，先是推上看他们讨论微波天线，来着讨论贝叶斯推断，大学各种挂科伤心事涌上心头。
2011年8月25日 18:00 | # | 引用
jlake 说：
为过滤垃圾邮件，曾经用过 POPFile。
从那时候知道了贝叶斯算法这个名词，具体怎么实现从未关心过。
这篇文章算是给我扫盲了。
2011年8月25日 18:04 | # | 引用
isnowfy 说：
可以查看这篇文章个人觉得讲的挺好的http://mindhacks.cn/2008/09/21/the-magical-bayesian-method/
2011年8月25日 19:18 | # | 引用
daiyechu 说：
我可不可以这么理解呢？权当拿出水果糖已经是一定的事件，也就是1。而一碗水中的水果糖占了总水果糖的60%，就可以得出概率是0.6。
2011年8月26日 10:24 | # | 引用
lee 说：
可悲的大学，等我上完了貌似水平还不如我上高中的时候。。。
2011年8月26日 15:58 | # | 引用
NSS 说：
贝叶斯可以说是现代机器学习技术方面的基础，比如大家熟知的搜索引擎，就非常依赖贝叶斯。
单从公式上看可能比较晦涩，画几个简单的集合图形就会非常好理解。
2011年8月27日 12:53 | # | 引用
Allen 说：
那文氏圖很不錯，重溫了上學期學的條件概率。
2011年8月27日 22:35 | # | 引用
happybird 说：
我是这样理解的：
首先：A是黄色，B是蓝色，中间相交的那部分是B盖在A上的部分。
A发生以后B再发生的部分就是相交的那一部分，这一部分在B中的分量是
p(b)分之p(a^b)
2011年8月29日 22:33 | # | 引用
阿四 说：
关于Bayes theorem，陶哲轩（一个年轻有名的数学家）讲到了一个有趣的例子：
https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/Vu7aFD8SPB7
2011年9月 2日 20:22 | # | 引用
麦公 说：
难道习题1%我算错了
2011年9月 5日 15:41 | # | 引用
zhaorui 说：
第一个问题，我算出来的结果是大概9%，看到楼上有10%的，不太确定自己的答案。
我的计算公式为：(0.001*0.99)/((0.99*0.001)+(0.01*0.999))
2011年9月11日 23:59 | # | 引用
zhaorui 说：
假阴性把我给绕进去了
计算公式为：(0.999*0.05)/((0.05*0.999)+(0.95*0.99)) ?
结果：0.6 ?
请指教
2011年9月12日 00:12 | # | 引用
tony 说：
呵呵 讲的真清楚。上学时候就没搞明白 这个定理。看来是当时老师太挫了，呵呵。
2011年9月18日 22:28 | # | 引用
bush 说：
這個思路挺好，直接分析關鍵問題，不受分支細節影響
2011年10月18日 21:33 | # | 引用
Peter 说：
阮哥，你好。在第五章里 作者主要表达的意思是 互联网软件（B／S软件）是微机诞生后的最大机会 也提到了用户需要的上网终端应该越来越小巧便捷 最后发展得像手机一样（iphone）同时包括网络浏览器。这一章看的我很兴奋 呵呵
经过思考 我产生了如下疑问：现在智能手机很普遍了 而且浏览器也是必不可少的客户端 但是现在在智能机上并没有出现互联网软件很火的现象 反而是智能机上的客户端软件开发很吃香 像以前PC机开发桌面软件一样 是不是互联网软件只适用于PC机 而且这个机遇已经过了 因为已经产生了好多互联网巨头 gooele facebook amzon等公司 而不适用于智能机上 还是在智能机上的盛行还没来 要等客户端开发热潮退了 才开始盛行 演变规律像在PC机上发生的一样
现在的智能机都支持JavaScript(是不是说的太绝对了) JavaScript有这么逊吗
小弟不才 请阮哥点拨
2011年11月13日 17:18 | # | 引用
LL 说：
两个问题讨论一下：
1、为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到2%？应该不是与误报率有关，而是跟发病率太低有关。即便误报率为0.01，计算出的患病概率为0.049773，尽管比0.019高了3个百分点，但仍难以说明患病的概率。
2、“假阴性”的概率非常小，几乎是0.19的1/100。所以可以认为检出阴性则没有患病的可靠性很高。
2012年3月23日 21:36 | # | 引用
Vaporz 说：
看完以后脑子里突然冒出个感想：“数学就是用一堆显而易见的废话最后得出一个很神奇的结论。”
好像更能理解为什么有人痴迷于数学，而更多的人没有丝毫兴趣了
2012年5月 9日 16:02 | # | 引用
Vaporz 说：
画个文氏图，就马上明白了 ：）
2012年5月 9日 16:04 | # | 引用
David 说：
不错，很清楚!
不过 likelihood 教科书里通常翻做似然
2012年5月10日 18:38 | # | 引用
mm 说：
淚流滿面啊，大學時看不懂，今天終於懂了。
2012年7月11日 14:59 | # | 引用
CrazyChris 说：
這裡的P(A|B)应该是真阳性吧
2012年8月 6日 16:34 | # | 引用
柳旭峰 说：
没想到 如果检验呈阳性的话，那么患病的几率为9%，这么低的一个数值！
虽然知道贝叶斯公式，但是没怎么用过。
看来医学上检验一个药品的难度有多大！
2012年8月13日 10:30 | # | 引用
mufasa 说：
P(A|B) = A∩B/B
等号右边的分式中，分母和分子同时除以样本空间（记为S），这样就是P(A∩B)/P(B)
可以参见wiki条件概率：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%A6%82%E7%8E%87
2012年8月27日 20:37 | # | 引用
riddle 说：
第二个问题的解释不对吧。可信度低是由于P(A)太小，即发病率太低导致的。
2012年10月16日 23:35 | # | 引用
Jim 说：
第二个例子有个关键错误，在阳性情况下确实发病的概率应为P(B|A)，而不是P(A|B)。P(A|B)的含义是发病的人被检测为阳性的概率。在文中计算过程中直接取P(B|A)为0.99也有误，应为0.95。
2012年10月17日 18:02 | # | 引用
Jim 说：
Sorry, 刚才理解错了。
2012年10月17日 18:28 | # | 引用
HaHax 说：
2013年1月16日 15:41 | # | 引用
xwc 说：
怎么没人给出假阴性的答案呢？我算的是1.05E-05，不知道对不，有点绕进去了。
2013年1月18日 19:10 | # | 引用
Chang 说：
我算的是0.0000105367
2013年2月 7日 22:07 | # | 引用
kevin 说：
算对了，看来我看懂了啊
2013年6月20日 17:07 | # | 引用
ahuang1900 说：
你说的对
2013年7月27日 12:43 | # | 引用
shredderming 说：
以前学的时候没想太多，现在想通了。如果用面积表示，那么P(A)=Sa/S,P(B)=Sb/S,P(AB)=Sab/S.
现在要求B发生的情况下，A发生的概率，其实就是AB同时发生的概率（B已经发生，A再发生不就是AB同时发生吗），只不过此时B发生的概率为1.
就是P(B)=Sb/S=1,此时Sb=S。AB同时发生的概率为P(AB)=Sab/S=Sab/Sb。其实这就是条件概率公式了。因为P(A|B)=P(AB)/P(B)=(Sab/S)/(Sb/S)=Sab/Sb。
2013年9月21日 00:48 | # | 引用
wtl 说：
1.05E-05 +1
可见如果是阳性而被漏过的概率很低
宁可误杀 不可错过
2013年9月22日 11:10 | # | 引用
èr.everfly 说：
阴性计算公式：
仍然用A表示发病，用Y表示为阴性，则
P(A|Y) = P(A)*P(Y|A) / P(Y)
= P(A)*P(Y|A) / ( P(A)*P(Y|A) + P(A')*P(Y|A') )
= 0.001*0.01/(0.01*0.001+0.95*0.999)
= 1.053674161802204286346490211367e-5
其实分母中的一部分和分子是相同的。
所以医学检测中，检测结果若为阴性，结果有误的概率非常小，因此结果为阴性的被检测者可以不去复查了。
阳性的话，根据推算可知，误报率比较高，需要进一步、最好使用其他方式复查。
2013年11月21日 11:17 | # | 引用
Albert Yu 说：
@Peter：
现在的智能机（浏览器）都支持 JavaScript，这句话如何推导出 “JavaScript 有这么逊” 来的？这不是恰恰证明了 JavaScript 很强吗？
对于你的问题，其实背后的原因蛮复杂，但是有一个原因绝对是决定性的：web app（也就是你说的互联网软件）所需要的生存环境（即智能机上的浏览器）还不足以完全替代智能机的原生环境。但是这个差距正在快速缩小，你期待的时机也在逐渐到来。
2014年3月21日 01:00 | # | 引用
刀尖红叶 说：
通俗易懂
2014年4月 7日 17:44 | # | 引用
khejing 说：
计算过程中好多图片放在谷歌的服务器上，都看不到呀，阮哥能否换个地方？
2014年6月11日 16:51 | # | 引用
mozart0 说：
毛。试试假设A碗里有水果糖30个巧克力糖无穷个
2014年6月24日 01:03 | # | 引用
Owen 说：
阮老师，你这个页面有一些图片是googleapis.com中的图片，由于最近google国内封的比较厉害，这个图片都没办打开了。能不能把这换成国内的.
2014年8月23日 21:49 | # | 引用
jazz 说：
> 在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强
P(B|A)/P(B)>1 这个可能答应1吗？P(B|A) 肯定比P(B) 小啊
2014年9月10日 16:44 | # | 引用
jazz 说：
这里的P(B|A) 不能理解为 P(A) * P(B)
2014年9月10日 18:15 | # | 引用
wangxing 说：
我是大陆访问的，发现大多数图片都看不到，是否因为是和谷歌有关呢，我们这里无法访问google
2014年9月28日 15:54 | # | 引用
李霞 说：
图片看不见
2014年10月 4日 00:47 | # | 引用
zussy 说：
2014年12月11日 22:56 | # | 引用
匿名 说：
至少高中的时候对概率好熟悉
2015年4月17日 17:07 | # | 引用
abc 说：
显然不对，如果第一个碗是有无穷个巧克力糖，30个水果糖，如果拿到的是水果糖的话，来自第一个碗的几率接近为0，这个算一下就知道了。 直观的意义也很容易理解，反过来假设如果我们选的碗不幸是第一个，那么基本不大可能拿到水果糖，因为它都被巧克力糖淹没了，可以认为如果我们拿到的是水果糖，那么它基本必定是从第二个碗拿到的，由此得出是第一个碗的几率为0.
2015年4月23日 14:57 | # | 引用
bowman 说：
为什么大部分图片都看不了？？？？？
2015年5月 5日 18:46 | # | 引用
呼呼 说：
我的理解，这颗水果糖来自一号碗的概率＝一号碗里水果糖的数量／水果糖总数量，一号碗里取出水果糖的概率＝一号碗里水果糖的数量／一号碗里糖的总数量，我的疑问是：一号碗里水果糖的数量已知，30，水果糖的总量也知道，50，30/50=0.6，跟条件概率公式算的也一样，为啥要那么麻烦的用条件概率算
2015年9月15日 21:36 | # | 引用
啦啦啦啦啦 说：
感觉糖果的概率算得不太对。
按照公式：后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子
假设碗#1为H1，水果糖为E，则
计算第一次摸出水果糖时，碗为#1的概率公式可表示为：
P(H1|E) ＝ P(H1) ｘ P(E|H1)/P(E)
P(H1) ＝ 0.5
P(E|H1) ＝ 0.75
无异意
但是，P(E)等于多少？
2015年10月 3日 10:24 | # | 引用
啦啦啦啦啦 说：
P(E)是取出水果糖的概率，由于两个碗中水果糖的比例不同，不能简单地用50/80来计算，
而应该通过每次取出糖果来计算概率，
假如第一次取出的是水果糖，则概率为1/1，即100%
则第一次取出糖后，是碗#1的概率
P(H1|E) ＝ 0.5 ｘ 0.75/1
2015年10月 3日 10:34 | # | 引用
GoodJob 说：
讲的真好！！
2015年10月21日 20:16 | # | 引用
有风无风 说：
误报率是5%时，假阴性约为3%,即是在有病的情况下判断为阴性的概率为3%，用假阴性更合理。
2015年12月27日 00:18 | # | 引用
魏志鹏 说：
http://math.stackexchange.com/questions/469974/why-would-i-use-bayes-theorem-if-i-can-directly-compute-the-posterior-probabili
看到这个，感觉还是有一点区别。
2016年1月 8日 09:59 | # | 引用
rainbow702 说：
(0.01 * 0.001) / (0.01 * 0.001 + 0.95 * 0.999) = 1.053674161802204286346490211367e-5
我跟你算的一样
2016年4月12日 10:07 | # | 引用
小邦 说：
我感觉跟大环境相关。这台机器参数性能是固定的，可变的只是环境（先验）。极端地说，如果在发病率为0的环境下，机器的可信度就是0（无论误报率如何）；在发病率100%的环境下，机器的可信度就是100%（无论误报率如何）。如果把这台机器放到一个发病率50%的环境里，机器的可信度就跟准确率一致了。
2016年5月22日 22:14 | # | 引用
Gecko 说：
你把1号盘的水果糖和巧克力糖个数分别改成20个和20个，与2号盘完全一样，你再算一下试试。
2016年11月14日 20:29 | # | 引用
cherishcn 说：
阮先生：
其实您的思想和观点我90%以上是赞同的，科研、学历对市场来说对大部分人来说却是没多大意义。只是我想说一句：您的东西里有些东西消极了，小孩不一定能理解。他们可能会误解里面的思想观点。
您比我稍长几岁，您经历过的，也是我正在经历的。是什么情况，我心里也清楚了。
但对90后来说，稍显灰色了。
2016年11月16日 08:22 | # | 引用
cherishcn 说：
前阵子仔细读了您的大作和译著，有感而发。
发表在这一贴因为我把这一页收藏了。经常来读。
2016年11月16日 08:25 | # | 引用
cymurs 说：
博主的问题是：检测出阴性，而真实情况是发病 的概率，你这0.999（不发病的概率）来这凑什么热闹？！！！
2017年1月 5日 11:59 | # | 引用
木子二月鸟 说：
同样的问题，阮老师能不能把这篇里的图片更新一下啊。。。。
2017年2月20日 10:36 | # | 引用
Alan 说：
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。
这句话是我要找的，谢楼主
2017年3月 3日 16:53 | # | 引用
billy 说：
假阴性的概率极低，因为检测出阳性的概率足够高。
这个说明应该保守治疗啊，看到阳性不要慌，可能是误报，看到阴性就把心放肚子里吧
2017年3月 4日 12:31 | # | 引用
Jarhf 说：
2017年8月 1日 11:41 | # | 引用
JI 说：
谢谢！比之前看另外一本书书的时候，理解起来容易很多。图很有帮助
2017年8月 1日 15:50 | # | 引用
cowboy 说：
现有一种试剂可以检验患者是否得病，它的准确率是0.99，即在患者确实得病的情况下，它有99%的可能呈现阳性。这句话是不是有问题啊？按照后面的解释，前面的意思不应该是检验患者得病的准确率是0.99吧，求解答
2017年12月 6日 18:36 | # | 引用
hero_ 说：
在条件（B） 即在患者确实得病的情况下 它有99% （P(A|B)）的可能呈现 阳性(事件A)
2018年1月 4日 12:21 | # | 引用
龙谦谦 说：
我算出来也是这个数
2018年2月27日 10:53 | # | 引用
李爽 说：
阮老师，文章的公司图片不翻墙看不了了，可否替换一下啊。
2018年3月 1日 16:45 | # | 引用
colin 说：
图挂了，看不见图片...
2018年3月22日 14:09 | # | 引用
小冰 说：
通俗易懂，十分感谢
2018年5月 5日 16:47 | # | 引用
容儿 说：
对于P(A|B)，它的样本空间就变成P(B)了。
2018年5月 7日 11:55 | # | 引用
sun 说：
是的，但“似然”这个翻译其实真的很差，不知道什么意思。可能是很久很久之前的翻译，现在汉语里哪还有人这么说话
2018年5月29日 12:42 | # | 引用
mengshu 说：
明明是概论论好不好
2018年6月29日 09:33 | # | 引用
杨其文 说：
贝叶斯先生1761年就去世了吧，怎么1763年发表论文呢？
2018年7月19日 12:47 | # | 引用
qixinbo 说：
别人帮他发的。。
见：https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayes
2018年7月30日 16:00 | # | 引用
Selina_Zhan 说：
其实这种问题用概率树来解决会好理解的多
2018年9月 9日 17:23 | # | 引用
Zemo 说：
为什么我懂贝叶斯，还是看不懂垃圾邮件识别的算法？
2018年10月30日 18:23 | # | 引用
前端小菜鸡 说：
假阳性问题 得病概率 P(A)=1/1000 阳性概率 分为两种 试剂正常（1/1000*（99/100））和 错误 （999/1000 *（5/100））,p(B) =（1/1000*（99/100））+ （999/1000 *（5/100）），得病是阳性 p(B|A) = (99/100) *P(A)/P(B)
(99/100/1000)/((99/100/1000)+(999/1000*5/100))
0.019434628975265017
2021年2月18日 16:48 | # | 引用
高甜甜 说：
@colordancer：
不一样，人家说的是来自一号碗的概率，而不是取出水果糖的概率。
2021年4月22日 17:04 | # | 引用
生医讯 说：
阮老师好，公众号生医讯（biomedinfo）想转载下您这篇文章，会标明作者和出处，能否授权下？谢谢！
2021年11月 7日 09:28 | # | 引用
css 说：
即使按照你的假设，即使有巧克力糖无穷个，水果糖仍然是30+20=50个，来自H1的可能是30/50=0.6不变
2024年7月 5日 03:11 | # | 引用
Mumulhl 说：
Google Chart 的图挂了
2024年7月30日 00:29 | # | 引用
NERV本部警卫 说：
有些图炸了，希望能及时更新
2024年10月11日 16:14 | # | 引用